# Kapitel 15: Rechnen mit komplexen Zahlen
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# a) Re, Im, evalc, abs, conjugate, convert(...,polar), combine,    
# polar.
> sqrt(-1);
> z:= 2+I*5;
> ?polar;
> w:=readlib(polar)(1,5*Pi/6);
> convert(z,polar);
> polar(z);
> evalc(w);
> expand(w);
# Kontrolle der Formel    polar(r, phi) = r*exp(I*phi)   am Beispiel w :
> evalc(exp(I*Pi*5/6));
> [Re(z), Im(z), abs(z), conjugate(z), z + 1/z,z + 1/conjugate(z)];
> [Re(w), Im(w), abs(w), conjugate(w), 1 + 1/w,1 + 1/conjugate(w)];
> evalc(");
# Gelegentlich wartet ein unausgef"uhrter Befehl auf ein nachfolgendes
# "evalc":
> [z^3, w^3, z*w, z/w];
> evalc(");
# "Uberg"ange: Von "exp" nach "trig":
> z:='z';
> exp(I*z);
> convert(",trig);
> "^2;
> expand(");
> combine(",[trig,exp]);
> convert(",exp);
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# b) Potenzen
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# Aufgabe 15.1
# Man bestimme Supremum, Infimum, lim sup und lim inf der folgenden
# Menge:
# M:= {Re(z^n); n=1,....,infinity }   mit  z=-sqrt(2)/2+I*sqrt(2)/2 .
# Hier ist phi/(2*Pi)  eine rationale Zahl.
> z:= -1/2*sqrt(2) + I*sqrt(2)/2:
> seq(evalc(z^n), n= 1..12);
# Periode: 8
# Bestimme |z| und phi :
> convert(z, polar);
# Also |z|=1 und phi/(2*Pi)=3/8 .
# Zur Kontrolle der Abschnitt von 1 bis zur n"achsten 1:
> seq(evalc(z^n), n= 8..16);
> with(plots):
> pointplot([seq([evalc(Re(z^n)),evalc(Im(z^n))], n=1..8)], style=point,
> axes=none, scaling=constrained);
# Ein Beispiel mit irrationalem phi/(2*Pi)  :
> z := -2/3 + I*sqrt(5)/3;

> pointplot([seq([evalc(Re(z^n)),evalc(Im(z^n))], n= 1..8)], style =
> point, axes = none, scaling = constrained);
> pointplot([seq([evalc(Re(z^n)),evalc(Im(z^n))], n=1..100)],style =
> point, axes = none, scaling = constrained);
>