Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 20.10.1999

Prof. Dr. R. L. Stens Dipl.-Math. F. Bühler

2. Übung zu Zahlbereichserweiterungen

(Abgabe: Mittwoch, 3.11.1999, bis 12 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Seien X, Y nicht–leere Mengen und X unendlich. Zeigen Sie:

a) Wenn eine injektive Abbildung f : X → Y existiert, so ist auch Y unendlich.  2
b) Wenn eine surjektive Abblidung g : Y → X existiert, so ist auch Y unendlich.  2
c) In a) und b) ist die Umkehrung jeweils i.a. nicht richtig.  2

Aufgabe 2: Sei X eine nicht–leere Menge und (D, S, d) ein Peano-System. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) X ist unendlich.

(ii) Es gibt eine injektive Abbildung f : D → X.

(iii) Es gibt eine surjektive Abbildung g : X → D.  3

Aufgabe 3: Beweisen Sie mit den Mitteln der Vorlesung die Potenzgesetze für k, m, n ∈ ℕ_{0}.

a) (m^{n})(m^{k}) = m^{n+k}.  2
b) (m^{n})(k^{n}) = (mk)^{n}.  2
c) (m^{n})^{k} = m^{(nk)}.  2

Aufgabe 4: Untersuchen Sie die algebraische Struktur (ℕ_{0}, ∗) mit m ∗ n := m^{n} für m, n ∈ ℕ. (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Existenz von rechts- oder linksneu-

tralem Element und Rechts- oder Linksinversen).  5

Aufgabe 5: Gegeben seien die Menge M = ℕ_{0} × ℕ_{0}, das Element 0 = (0, 0) ∈ M sowie eine Abbildung ν : M → M definiert durch

ν(m, n) = \begin{cases}(m + 1, n − 1), & falls n ≠ 0, \\ (0, m + 1), & falls n = 0. \end{cases}

a) Zeigen Sie, daß durch (M, ν, 0) ein Peano-System gegeben wird.  4
b) Folgern Sie aus a), daß ℕ_{0} und ℕ_{0} × ℕ_{0} gleichmächtig sind.  2

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