Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 4. Februar 2000

Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

16. Übung zur Analysis I

Abgabe: Mittwoch, 9.2.2000, 14.00 Uhr

Organisatorisches: 1) Diese Übung ist klausurrelevant, aber die Punkte dieser Übung zählen nicht mehr zu den Pflichtpunkten.

2) In der Woche nach Vorlesungsende werden Beratungsstunden wie folgt angeboten: Montag, 14.2.2000 bis Donnerstag, 17.2.2000, jeweils 14.00-15.00 Uhr im Raum 248, HG. Ausserdem können Sie sich bei Bedarf auch direkt an die Assistenten wenden.

Aufgabe 1 (4^{∗} Punkte) Untersuchen Sie die Funktion

f : [0, ∞) → ℝ, x ↦ \begin{cases}x^{x}, & falls x > 0, \\ 1, & falls x = 0, \end{cases}

auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit, bestimmen Sie maximale Intervalle, auf denen f monoton ist, sowie alle (lokalen und globalen) Extremstellen von f.

Aufgabe 2 (4^{∗} Punkte) Sei ∅ ≠ I ⊂ ℝ ein Intervall, f : I → ℝ differenzierbar und f′ auf I beschränkt. Zeigen Sie: Es gibt M ≥ 0 mit |f(x) − f(y)| ≤ M |x − y| für alle x, y ∈ I. Welches ist die optimale Konstante M?

Aufgabe 3 (3^{∗} Punkte) Seien a, b > 0. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, soweit diese existieren:

(1)  lim_{x→0} (\frac{1}{sin(x)} − \frac{1}{x}) ,  (2)  lim_{x→0} \frac{a^{x} − b^{x}}{x} ,
(3)  lim_{x→∞} x (tanh(ax) − 1) .

Aufgabe 4 (∗) Seien a, b ∈ ℝ mit a < b und f : [a, b] → ℝ differenzierbar mit f′(a) ≠ f′(b). Zeigen Sie: f′ nimmt in (a, b) jeden Wert zwischen f′(a) und f′(b) an.