Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 28. Januar 2000

Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

15. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 4.2.2000, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (2 Punkte) Zeigen Sie direkt mit der Definition:

log : (0, ∞) → ℝ ist differenzierbar mit Ableitung log′(x) = \frac{1}{x}.

Aufgabe 2 (3 Punkte) Für welche a, b > 0 ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit

f(x) = \begin{cases}|x|^{a} sin(1/ |x|^{b}), & falls x ≠ 0, \\ 0, & falls x = 0, \end{cases}

im Punkt 0 differenzierbar. Für welche dieser a, b ist die Ableitung f′ in 0 stetig?

Aufgabe 3 (4 Punkte) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen, soweit sie existieren:

(1) f_{1} : ℝ → ℝ, x ↦ x |x|,

(2) f_{2} = tanh,

(3) f_{3} = artanh,

(4) f_{4} : (0, ∞) → ℝ, x ↦ x^{(x^{x})} − (x^{x})^{x}.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Sei I ⊂ ℝ ein Intervall, a ∈ I und f : I → ℝ stetig und in I \ {a} differenzierbar. Zeigen Sie: Ist f′ in a stetig ergänzbar, so ist f in a differenzierbar. Gilt hier auch die Umkehrung?

Aufgabe 5 (∗) Die Folge (p_{n})_{n∈ℕ_{0}} von Polynomen p_{n} : ℝ → ℝ sei rekursiv definiert durch p_{0}(x) = 1 und p_{n+1}(x) = 2x^{3}p_{n}(x) − x^{2}p′_{n}(x), n ∈ ℕ_{0}. Zeigen Sie: Die Funktion f : ℝ → ℝ, definiert durch

f(x) = \begin{cases}exp(−1/x^{2}), & falls x > 0, \\ 0, & falls x ≤ 0, \end{cases}

ist beliebig oft differenzierbar mit f^{(n)}(x) = p_{n}(1/x) exp(−1/x^{2}) für alle x > 0, n ∈ ℕ.

Organisatorisches: Es folgt noch eine kurze 16. Übung mit Abgabetermin Mittwoch, 9.2.2000