Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 21. Januar 2000

Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

14. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 28.1.2000, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (2 Punkte) Seien a, b ∈ ℝ mit a < b, D = [a, b] und f : D → D stetig. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt hat, d. h. dass ein x ∈ D existiert mit f(x) = x.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Zeigen Sie:

(1) exp ist auf jedem Intervall (−∞, a] mit a ∈ ℝ gleichmäßig stetig.

(2) log ist auf jedem Intervall [a, ∞) mit 0 < a gleichmäßig stetig.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Seien a, b ∈ ℝ mit a < b, D = (a, b) und f : D → ℝ stetig. Zeigen Sie:

(1) Ist f gleichmäßig stetig und (x_{n})_{n≥1} eine Cauchy-Folge in D, so ist auch (f(x_{n}))_{n≥1} eine Cauchy-Folge.

(2) f ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn die Grenzwerte lim_{x↓a} f(x) und lim_{x↑b} f(x) existieren.

Aufgabe 4 (3 Punkte) Zeigen Sie:

(1) Für x ∈ ℝ ist 1 + x ≤ exp(x).

(2) Folgen Sie aus (1) und der Funktionalgleichung des Logarithmus:

n(1 − \frac{1}{x^{1/n}}) ≤ log(x) ≤ n(x^{1/n} − 1) für x ∈ (0, ∞) und n ∈ ℕ.

Aufgabe 5 (4 Punkte) (1) Zeigen Sie: Für x, y, x + y ∈ ℝ \ \{(k + \frac{1}{2})π | k ∈ ℤ\} ist

tan(x + y) = \frac{tan(x) + tan(y)}{1 − tan(x) tan(y)}

(2) Zeigen Sie: Die Funktionen

cosh |_{ℝ^{+}} : ℝ^{+} → [1, ∞), sinh |_{ℝ} : ℝ → ℝ, und tanh |_{ℝ} : ℝ → (−1, 1), x ↦ \frac{sinh(x)}{cosh(x)}

sind streng monoton und bijektiv. Für die Umkehrfunktionen gilt

arcosh(x) = log(x + \sqrt{x^{2} − 1})
arsinh(x) = log(x + \sqrt{x^{2} + 1}),
artanh(x) = \frac{1}{2} log(\frac{1 + x}{1 − x}) .

Aufgabe 6 (∗) Sei a > 0 und f : (0, ∞) → ℝ eine Funktion mit den Eigenschaften

f(xy) = f(x) + f(y) und f(x) ≤ a(x − 1) für alle x, y ∈ (0, ∞).

Zeigen Sie, dass f dadurch bereits eindeutig bestimmt ist. Welche Funktion ist f?