Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 14. Januar 2000

Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

13. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 21.1.2000, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (5 Punkte)

(1) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit:

f : ℝ → ℝ, x ↦ \frac{e^{−x}}{1 + |cos(2x)|},

g : ℝ → ℝ, x ↦ x − [x],

h : ℝ → ℝ, x ↦ g(x)(1 − g(x)).

(2) Zeigen Sie, dass f : [0, ∞) → ℝ, x ↦ \sqrt[3]{x} stetig ist, indem Sie für jedes x_{0} ≥ 0 und jedes ε > 0 explizit ein δ > 0 wählen, so dass |f(x) − f(x_{0})| < ε für alle x ∈ [0, ∞) mit |x − x_{0}| < δ.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Zeige Sie: Die Funktion f : ℝ → ℝ, definiert durch

f(x) = \begin{cases}0, & falls x ∈ ℝ \ ℚ, \\ \frac{1}{q}, & falls x = \frac{p}{q} ∈ ℚ mit teilerfremden p, q ∈ ℤ, q > 0, \end{cases}

ist stetig in ℝ \ ℚ und unstetig in jeder rationalen Zahl.

Aufgabe 3 (3 Punkte) Sei ∅ ≠ M ⊂ ℝ abgeschlossen, f : M → ℝ stetig, c ∈ ℝ und N_{c} = {x ∈ M | f(x) = c}. Zeigen Sie, dass N_{c} abgeschlossen ist.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Untersuchen Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:

(1) lim_{x↓0} \frac{sin(x)}{x},  (2) lim_{x↓1} \frac{x^{m} − 1}{x^{n} − 1} für m, n ∈ ℕ,
(3) lim_{x→∞} x (1 − \sqrt{1 − \frac{1}{x}}) .

Aufgabe 5 (∗) Sei f : ℝ → ℝ mit f(0) = 1 und f(x + y) ≤ f(x)f(y) für alle x, y ∈ ℝ. Zeigen Sie: Ist f stetig in 0, so ist f stetig.