Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 23. Dezember 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

12. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 14.1.2000, 12.00 Uhr

Organisatorisches: Bitte beachten Sie:

• Am Montag, 10.1.2000, findet um 11.45 Uhr im Hörsaal V die Semesteraussprache für das erste Semester statt.

• Die Probeklausur am Freitag, 7.1.2000 (um 14.30 Uhr im Hörsaal Fo 1) dauert zwei Stunden. Mitzubringen ist nur (dokumentenechtes) Schreibgerät. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Aufgabe 1: (3 Punkte) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

∑_{n=0}^{∞} a^{n!}z^{n} für 0 ≠ a ∈ ℝ,  ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2^{n+1}} z^{n},  ∑_{n=1}^{∞}(1 + \frac{1}{n})^{(n^{2})}z^{n}.

Aufgabe 2 (4 Punkte) (1) Beweisen Sie: Für |x| < 1 ist ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}x^{2n} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

(2) Für n ∈ ℕ sei r_{n} = #{(a, b) ∈ ℕ × ℕ | a^{2} + b^{2} = n}. Bestimmen Sie den Konvergenzradius R

der Reihe f(z) := ∑_{n=1}^{∞} z^{(n^{2})} und zeigen Sie f(z)^{2} = ∑_{n=1}^{∞} r_{n}z^{n} für z ∈ K_{R}(0).

Aufgabe 3: (4 Punkte) (1) Sei ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R ∈ (0, ∞).

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen

∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{nk} für n ∈ ℕ,  ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{(k^{2})} und  ∑_{k=0}^{∞} \frac{a_{k}}{k!} x^{k}.

(2) Seien 0 ≠ p, q Polynome und n_{0} ∈ ℕ, so dass alle reellen Nullstellen von q in (−n_{0}, n_{0}) liegen.

Zeigen Sie, dass die Potenzreihe ∑_{n=n_{0}}^{∞} \frac{p(n)}{q(n)}x^{n} den Konvergenzradius 1 hat.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} eine komplexe Potenzreihe mit Entwicklungs-

punkt z_{0} und Konvergenzradius R > 0. Dann existiert zu jedem z_{1} ∈ K_{R}(z_{0}) eine Potenzreihe

g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z −z_{1})^{n} mit Entwicklungspunkt z_{1} und Konvergenzradius ≥ r := R−|z_{1} −z_{0}| > 0,

so dass f(z) = g(z) für alle z ∈ K_{r}(z_{1}).

Aufgabe 5 (∗): Sei I eine Menge. Eine Familie (a_{j})_{j∈I} komplexer Zahlen heißt \underline{summierbar}, wenn ein α ∈ ℂ existiert, so dass zu jedem ε > 0 eine endliche Menge E_{0} ⊂ I existiert, so dass für jede endliche Menge E mit E_{0} ⊂ E ⊂ I gilt |α − ∑_{j∈E} a_{j}| < ε. Zeigen Sie:

(1) Ist (a_{j})_{j∈I} summierbar, so ist α eindeutig bestimmt. Man nennt α die \underline{Summe} von (a_{j})_{j∈I}.

(2) ((m!n!)^{−1})_{(m,n)∈ℕ_{0}×ℕ_{0}} ist summierbar mit Summe e^{2}.

(3) (a_{j})_{j∈I} ist summierbar genau dann, wenn (|a_{j}|)_{j∈I} summierbar ist.

(4) Ist (a_{j})_{j∈I} summierbar, so ist {j ∈ I | a_{j} ≠ 0} abzählbar.