Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 17. Dezember 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

11. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 7.1.2000, 12.00 Uhr

Organisatorisches: Bitte beachten Sie:

• Die Beratungsstunde von J. Rettemeier findet ab sofort mittwochs um 14.15–15.15 Uhr im Raum 248 statt.

• Die Beratungsstunde von G. Hagel am Donnerstag, 23.12.1999, wird (einmalig) auf Donnerstag, 6.1.2000 (um 17.15 Uhr im Raum 248) verschoben.

• Die Nachholklausur findet statt am Donnerstag, 6.4.2000, 10.00–12.00 Uhr im Hörsaal Fo 1.

Aufgabe 1 (4 Punkte) (1) Zeigen Sie sin(x) cos(x) = \frac{1}{2} sin(2x), indem Sie das Cauchy-Produkt der Reihen von sin und cos berechnen und geeignet vereinfachen.

(2) Geben Sie Beispiele für bedingt konvergente Reihen ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n}, so dass deren Cauchy-

Produkt ∑_{n=0}^{∞} c_{n} (mit c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}) a) divergiert bzw. b) bedingt konvergiert bzw. c) absolut

konvergiert.

Aufgabe 2 (6 Punkte) Die Funktionen sinh : ℂ → ℂ und cosh : ℂ → ℂ werden definiert durch

cosh(z) := \frac{1}{2} ((exp(z) + exp(−z))  (Cosinus hyperbolicus)
sinh(z) := \frac{1}{2} ((exp(z) − exp(−z))  (Sinus hyperbolicus).

(1) Beweisen Sie: Für w, z ∈ ℂ ist

cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w),
sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w),
1 = cosh(z)^{2} − sinh(z)^{2}.

(2) Zeigen Sie, dass sinh und cosh in Potenzreihen um 0 entwickelbar sind und bestimmen Sie die Koeffizienten dieser Potenzreihen. Wie hängen die Hyperbelfunktionen sinh und cosh mit den Winkelfunktionen sin und cos zusammen?

(3) Skizzieren Sie die Graphen von sinh|_{ℝ} und cosh|_{ℝ}.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Für e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} und r ∈ ℚ sei e^{r} definiert wie in Aufgabe 10.2. Zeigen Sie: Für alle r ∈ ℚ gilt

exp(r) = e^{r} = lim_{n→∞} (1 + \frac{r}{n})^{n} .

Hinweis: Zeigen Sie die Aussage zuerst für r = \frac{1}{q} mit 0 ≠ q ∈ ℤ.

Aufgabe 4 (∗): Sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass es a_{0}, …, a_{n} ∈ ℝ gibt, so dass für alle x ∈ ℝ gilt

cos(nx) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}(cos(x))^{k}.