Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 10. Dezember 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

10. Übung zur Analysis I

Abgabe: Montag, 20.12.1999, 10.00 Uhr

Aufgabe 1 (7 Punkte)

(1) Sei z ∈ ℂ mit −z ∉ ℕ. Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(z + n)(z + n + 1)}.

(2) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

(i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}},  (ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{(−2)^{n}} ,  (iii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{2}}} ,
(iv) ∑_{n=1}^{∞}(\sqrt[n]{n^{3}} − 1)^{n},  (v) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{2 + (−1)^{n}}{2n} ,  (vi) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}.

Aufgabe 2 (4 Punkte) (1) Sei (a_{n})_{n≥1} eine monotone Nullfolge. Zeigen Sie, dass die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}

genau dann konvergiert, wenn die Reihe ∑_{n=1}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} konvergiert.

(2) Für x > 0 und r = \frac{p}{q} ∈ ℚ mit p ∈ ℤ, q ∈ ℕ setzt man x^{0} := 1 und x^{r} := \sqrt[q]{x^{p}} (wegen Satz I 3.26 ist x^{r} wohldefiniert und es gelten die üblichen Rechenregeln). Bestimmen Sie nun (z. B. mit Hilfe von (1)) alle r ∈ ℚ, für die die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{r}} konvergiert.

Aufgabe 3 (3 Punkte) Es sei (a_{k})_{k∈ℕ} eine Folge mit lim_{k→∞} k a_{k} = 0. Zeigen Sie mittels Abelscher partieller Summation: Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergiert genau dann, wenn die Reihe ∑_{k=1}^{∞} k (a_{k} −a_{k+1}) konvergiert. Im Falle der Konvergenz stimmen die Grenzwerte der beiden Reihen überein. Aufgabe 4 (∗): Sei (a_{n})_{n≥1} eine reelle Folge. Zeigen Sie:

(1) Gibt es N ∈ ℕ und 1 < c ∈ ℝ mit a_{k} ≠ 0 und |\frac{a_{k+1}}{a_{k}} | ≤ 1 − \frac{c}{k} für alle k ≥ N, so ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} absolut konvergent.

(2) Gibt es N ∈ ℕ mit a_{k} ≠ 0 und \frac{a_{k+1}}{a_{k}} ≥ 1− \frac{1}{k} für alle k ≥ N, so ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} divergent. Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folge der Partialsummen von ∑ |a_{k}| beschränkt ist bzw. dass die harmonische Reihe eine Minorante von ∑ a_{k} ist.