Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 3. Dezember 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

9. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 10.12.1999, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (4 Punkte) Bestimmen Sie die Häufungspunkte der folgenden Teilmengen von ℝ:

(1) [0; 1) ∩ ℚ,

(2) \{(−1)^{n} (1 + \frac{1}{n^{2}} )| n ∈ ℕ\},

(3) \{ \frac{1}{n} + \frac{1}{m}| m, n ∈ ℕ\}.

Aufgabe 2 (4 Punkte) (1) Zeigen Sie: Jede offene Menge M ⊂ ℝ ist abzählbare Vereinigung offener Intervalle.

(2) Ist jede abgeschlossene Menge M ⊂ ℝ abzählbare Vereinigung abgeschlossener Intervalle?

(3) Für M ⊂ ℝ sei H(M) ⊂ ℝ die Menge der Häufungspunkte von M. Zeigen Sie für M, N ⊂ ℝ: (a) M ∪ H(M) ist abgeschlossen,

(b) H(M) ∪ H(N) = H(M ∪ N).

Aufgabe 3 (4 Punkte) Für a ∈ ℂ, r ≥ 0 sei B_{r}(a) = {z ∈ ℂ | |z − a| ≤ r}. Seien nun (a_{n})_{n≥1} eine Folge in ℂ, (r_{n})_{n≥1} eine reelle Nullfolge mit r_{n} > 0 und B_{r_{n+1}}(a_{n+1}) ⊂ B_{r_{n}}(a_{n}) für alle n ∈ ℕ.

(1) Zeigen Sie: Es gibt genau ein z ∈ ℂ mit z ∈ ⋂_{n∈ℕ}B_{r_{n}}(a_{n}). Für dieses z gilt lim_{n→∞} a_{n} = z.

(2) Bleibt die Aussage in (1) richtig, wenn man die abgeschlossenen Kugeln B_{r_{n}}(a_{n}) durch die offenen Kugeln U_{r_{n}}(a_{n}) ersetzt?

Aufgabe 4 (4 Punkte) Für jedes z ∈ ℂ wird durch

a_{z,1} := 0  und  a_{z,n+1} := (a_{z,n})^{2} + z für alle n ∈ ℕ

rekursiv eine Folge (a_{z,n})_{n≥1} in ℂ definiert. Sei

M := {z ∈ ℂ | die Folge (|a_{z,n}|)_{n≥1} ist beschränkt} .

(1) Zeigen Sie: U_{1/4}(0) ⊂ M und M ⊂ U_{2+ε}(0) für alle ε > 0.

(2) Bestimmen Sie inf {r ∈ (0, ∞) | M ⊂ U_{r}(0)} und sup {r ∈ (0, ∞) | U_{r}(0) ⊂ M}.