Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26. November 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

8. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 3.12.1999, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (5 Punkte) Sei (a_{n})_{n≥1} eine reelle Folge. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

(1) (a_{n})_{n≥1} ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0 ein N ∈ ℕ existiert mit |a_{n} − a_{N}| < ε für alle n ≥ N.

(2) (a_{n})_{n≥1} ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0 ein N ∈ ℕ existiert mit |a_{n} − a_{n+1}| < ε für alle n ≥ N.

(3) Es gilt lim sup_{n→∞} a_{n} = ∞ genau dann, wenn zu jedem M > 0 unendlich viele n ∈ ℕ existieren

mit a_{n} ≥ M.

(4) Es gilt lim_{n→∞} a_{n} = −∞, wenn zu jedem M > 0 unendlich viele n ∈ ℕ existieren mit a_{n} ≤ −M.

(5) Ist lim sup_{n→∞} a_{n} < M für ein M ∈ ℝ, so existiert ein N ∈ ℕ mit a_{n} ≤ M für alle n ≥ N.

Aufgabe 2 (3 Punkte) Sei q ∈ (0; 1) und (a_{n})_{n≥1} eine Folge mit der Eigenschaft

|a_{n+2} − a_{n+1}| < q |a_{n+1} − a_{n}| für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass (a_{n})_{n≥1} konvergiert. Folgt die Konvergenz auch noch, wenn man q = 1 zuläßt?

Aufgabe 3 (4 Punkte) (1) Sei (a_{n})_{n≥1} eine Folge mit a_{n} ≠ 0 für alle n ∈ ℕ. Ferner gelte

lim sup_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < 1. Zeigen Sie, dass (a_{n})_{n≥1} eine Nullfolge ist.

(2) Sei (a_{n})_{n≥1} eine Folge mit a_{n} > 0 für alle n ∈ ℕ und lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = a. Zeigen Sie, dass die

Folge (\sqrt[n]{a_{n}})_{n≥1} gegen a konvergiert. (Hinweis: AGM-Ungleichung, Aufg. 3.2 und Aufg. 7.6).

Aufgabe 4 (4 Punkte) (1) Zeigen Sie, dass (∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1})_{n≥1} eine Cauchy-Folge ist.

(2) Sei R eine rationale Funktion. Bestimmen Sie lim_{n→∞} R(n) und lim inf_{n→∞} R(−n).

(3) Zeigen Sie lim_{n→∞} \sqrt[n]{n!} = ∞ und lim_{n→∞} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = e, z. B. mit Hilfe von Aufg. 3 (2).

Aufgabe 5 (∗): (1) Die Folge (a_{n})_{n≥1} sei nach oben beschränkt. Zeigen Sie

(i)  lim sup_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞}(sup{a_{k} | k ≥ n}),
(ii)  lim sup_{n→∞} a_{n} = − lim inf_{n→∞}(−a_{n}).

(2) Die Folgen (a_{n})_{n≥1}, (b_{n})_{n≥1} seien beschränkt. Zeigen Sie

(i)  lim inf_{n→∞} a_{n} + lim inf_{n→∞} b_{n} ≤ lim inf_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) ≤ lim inf_{n→∞} a_{n} + lim sup_{n→∞} b_{n},
(ii)  lim sup_{n→∞} a_{n} + lim sup_{n→∞} b_{n} ≥ lim sup_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) ≥ lim inf_{n→∞} a_{n} + lim sup_{n→∞} b_{n}.