Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 19. November 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

7. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 26.11.1999, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (4 Punkte) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen ((1 + (−1)^{n})\frac{n!}{n^{n}} )_{n≥1}

und (Re((1 + 1/n)i^{n}))_{n≥1}. Geben Sie für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge an, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei (a_{n})_{n≥1} eine (reelle) Folge und ∅ ≠ B ⊂ ℝ die Menge der Häufungspunkt von (a_{n})_{n≥1}. Zeigen Sie: Ist (b_{n})_{n≥1} eine Folge in B (also b_{n} ∈ B für alle n ∈ ℕ) und x ∈ ℝ Häufungspunkt von (b_{n})_{n≥1}, so ist bereits x ∈ B.

Aufgabe 3 (4 Punkte) (1) Sei c > 0. Zeigen Sie, dass die Folge (a_{n})_{n≥1}, definiert durch a_{1} = c

und a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n}} für alle n ∈ ℕ, konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.

(2) Untersuchen Sie die Folge (a_{n})_{n≥1} mit a_{1} = −1 und a_{n+1} = −\sqrt{1 + |a_{n}|} für alle n ∈ ℕ auf Konvergenz.

Aufgabe 4 (4 Punkte) (1) Zeigen Sie, dass die Folge ((1 + \frac{1}{n})^{n+1})_{n≥1} monoton fallend und konvergent mit Grenzwert e ist.

(2) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen ((1 − \frac{1}{n})^{n})_{n≥1}, ((1 + \frac{1}{n})^{2n})_{n≥1} und ((1 + \frac{1}{2n})^{n})_{n≥1}.

Aufgabe 5 (∗): Seien a, b ∈ ℝ und q ∈ ℝ mit q > 1. Die Folge (a_{n})_{n≥1} sei definiert durch a_{1} = a,

a_{2} = b und a_{n+2} = \frac{1}{q}a_{n+1} + \frac{q − 1}{q}a_{n} für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass (a_{n})_{n≥1} konvergiert, und

bestimmen Sie den Grenzwert.

Aufgabe 6 (∗): Sei (a_{n})_{n≥1} eine reelle Folge und (A_{n})_{n≥1} definiert durch A_{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} a_{k}.

(1) Zeigen Sie: Ist (a_{n})_{n≥1} konvergent, so ist auch (A_{n})_{n≥1} konvergent mit lim_{n→∞} A_{n} = lim_{n→∞} a_{n}.

(2) Folgt umgekehrt aus der Konvergenz von (A_{n})_{n≥1} auch die Konvergenz von (a_{n})_{n≥1}?