Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 12. November 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

6. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 19.11.1999, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (4 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

(1) f : ℚ → ℕ_{0}, x ↦ inf\{n ∈ ℕ_{0} | x = \frac{n}{m} für ein 0 ≠ m ∈ ℤ\},

(2) f : ℝ → ℝ, x ↦ \frac{x}{1 + |x|},

(3) f : ℕ × ℕ → ℕ, (m, n) ↦ 2^{m−1}(2n − 1),

(4) f : ℂ \ \{z_{0}\} → ℂ, z ↦ \frac{z + z_{0}}{z − z_{0}} , wobei z_{0} ∈ ℂ sei.

Aufgabe 2 (4 Punkte): Sei f : X → Y eine Abbildung. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(1) f ist injektiv,

(2) es existiert g : Y → X mit g ∘ f = id_{X},

(3) für alle A ⊂ X ist f^{−1}(f(A)) = A,

(4) für alle A_{1}, A_{2} ⊂ X ist f(A_{1} ∩ A_{2}) = f(A_{1}) ∩ f(A_{2}).

Aufgabe 3 (2 Punkte): Die Folge (a_{n})_{n≥1} sei definiert durch a_{n} = \frac{n^{2} − 1}{n^{2} + 1} für alle n ∈ ℕ. Zeigen

Sie lim_{n→∞} a_{n} = 1, indem Sie für jedes ε > 0 explizit ein n_{0} ∈ ℕ angeben, so dass |a_{n} − 1| < ε für alle n ≥ n_{0} gilt.

Aufgabe 4 (4 Punkte): Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:

(1) (a_{n})_{n≥1} mit a_{n} = \frac{(−1)^{n}n}{\sqrt{n^{2} + n}},

(2) (a_{n})_{n≥1} mit a_{n} = \sqrt{n}(\sqrt{n + 2} − \sqrt{n}),

(3) (a_{n})_{n≥1} mit a_{n} = \frac{(−1)^{n} + n}{n^{2} + 1} + 1,

(4) (a_{n})_{n≥1} mit a_{n} = \frac{n^{k}}{c^{n}}, wobei k ∈ ℕ_{0} und 0 < c ∈ ℝ sei.

Aufgabe 5 (∗): Sei ∅ ≠ A eine Menge und P(A) die Potenzmenge von A. Zeigen Sie, dass es keine surjektive Abbildung f : A → P(A) gibt. Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis, etwa wie zu Satz II 2.6 der Vorlesung.

Aufgabe 6 (∗): Sei ℚ[X] die Menge der reellen Polynome mit rationalen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass die Menge

A = {x ∈ ℂ | ∃ 0 ≠ p ∈ ℚ[X] : p(x) = 0}

aller komplexen Nullstellen von Polynomen in ℚ[X] \ {0} abzählbar ist. Bemerkung: A ist die Menge der algebraischen Zahlen.