Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 5. November 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

5. Übung zur Analysis I

Abgabe: Freitag, 12.11.1999, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (2 Punkte): Zeigen Sie: Für alle w, z ∈ ℂ gilt

|z + w|^{2} + |z − w|^{2} = 2 |z|^{2} + 2 |w|^{2} .

Aufgabe 2 (6 Punkte): (1) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie den Betrag der folgenden komplexen Zahlen:

(a) \frac{(−1 + 4i)^{2}}{5 − 2i} ,  (b) \frac{1 − ib}{1 + ai} + \frac{1 + ib}{1 − ai} für a, b ∈ ℝ,
(c) (\frac{1 + i}{\sqrt{2}})^{n} für n ∈ ℤ.

(2) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene:

(a) {z ∈ ℂ | Im(z^{3}) > 0 und 1 < |z^{3}| < 8} ,
(b) {z ∈ ℂ | Re(1/z) = 1/r} , wobei r ∈ ℝ mit r > 0 sei,
(c) \{z ∈ ℂ | |\frac{z − a}{1 − \overline{a}z} | < 1\} , wobei a ∈ ℂ mit |a| < 1 sei.

Aufgabe 3 (4 Punkte): Es seien a, c ∈ ℝ und b ∈ ℂ mit b\overline{b} > ac und

M = \{z ∈ ℂ | az\overline{z} + 2Re(bz) + c = 0\} .

Zeigen Sie: (1) Ist a ≠ 0, so ist M ein Kreis in der komplexen Zahlenebene mit Mittelpunkt −\overline{b}/a. Welchen Radius hat M?

(2) Ist a = 0, so ist M eine Gerade in der komplexen Zahlenebene.

Aufgabe 4 (4 Punkte): Sei f : X → Y eine Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(1) Sind A_{1}, A_{2} ⊂ X mit f(A_{1}) ⊂ f(A_{2}), so folgt A_{1} ⊂ A_{2}.

(2) Sind B_{1}, B_{2} ⊂ Y mit f^{−1}(B_{1}) ⊂ f^{−1}(B_{2}), so folgt B_{1} ⊂ B_{2}.

(3) Es gilt f^{−1}(f(A)) = A für alle A ⊂ X.

(4) Es gilt f(f^{−1}(B)) ⊂ B für alle B ⊂ Y.

Aufgabe 5 (2 Punkte): Seien X, Y nicht-leere Mengen. Charakterisieren Sie alle G ⊂ X × Y, die als Graphen von Abbildungen f : X → Y auftreten.

Aufgabe 5 (∗): Seien n ∈ ℕ und z = (z_{1}, …, z_{n}), w = (w_{1}, …, w_{n}) ∈ ℂ^{n}. Beweisen Sie

|∑_{k=1}^{n} z_{k}w_{k}| ≤ \sqrt{∑_{k=1}^{n} |z_{k}|^{2}}\sqrt{∑_{k=1}^{n} |w_{k}|^{2}}.

Zeigen Sie ferner, dass Gleichheit genau dann gilt, wenn z = 0 oder w = λ\overline{z} für ein λ ∈ ℂ gilt.