Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 22. Oktober 1999 Prof. Dr. A. Krieg, T. Dern, I. Klöcker

3. Übung zur Analysis I

Abgabe: Dienstag, 2.11.1999, 10.00 Uhr

Organisatorisches: Bitte beachten Sie folgende Änderungen:

Montag, 15.45–16.30 Uhr: Übung im Hörsaal EPh (bisher Grün)
Freitag, 11.45–13.15 Uhr: Vorlesung im Hörsaal I (bisher Grün)

Aufgabe 1 (4 Punkte): Zeigen Sie durch Induktion:

(1) Ist n ∈ ℕ und sind x_{1}, …, x_{n} ∈ ℝ_{+}^{∗}, so ist (∑_{j=1}^{n} x_{j}) (∑_{j=1}^{n} \frac{1}{x_{j}} ) ≥ n^{2}.

(2) Für alle m, n ∈ ℕ_{0} mit n ≥ m ist ∑_{k=m}^{n} \binom{k}{m} = \binom{n + 1}{m + 1}.

Aufgabe 2 (4 Punkte): Zeigen Sie: Ist n ∈ ℕ und sind a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ_{+}^{∗}, so gilt (Ungleichung zwischen geometrischem und harmonischem Mittel)

\sqrt[n]{∏_{j=1}^{n} a_{j}} ≥ n (∑_{j=1}^{n} \frac{1}{a_{j}} )^{−1} .

Aufgabe 3 (4 Punkte): Sei K ein Körper und seien a, b, c, d ∈ K. Folgern Sie aus den Körperaxiomen:

(1) a ≠ 0 ⟹ (−a)^{−1} = −(a^{−1}),

(2) a ≠ 0 und b ≠ 0 ⟹ (a/b)^{−1} = (a^{−1})/(b^{−1}).

(3) b ≠ 0 und d ≠ 0 ⟹ a/b + c/d = (ad + bc)/(bd).

Aufgabe 4 (4 Punkte): Sei K ein angeordneter Körper und seien a, b ∈ K. Folgern Sie aus den Körper- und Anordnungsaxiomen:

(1) a < b ⟹ a < \frac{a + b}{2} < b.

(2) Es gibt keinen angeordneten Körper mit endlich vielen Elementen.

(3) a < b ⟺ a^{3} < b^{3}.

Aufgabe 5 (4 Punkte): (K, +, ·) erfülle alle Körperaxiome bis auf das Kommutativgesetz der Addition. Zeigen Sie, dass (K, +, ·) dann bereits ein Körper ist.

Aufgabe 6 (∗): Sei (K, +, ·) ein Körper und k ∈ K. Auf K × K seien eine Addition ⊕ und eine Multiplikation ⊙ erklärt durch

(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)  und  (a, b) ⊙ (c, d) := (ac + kbd, ad + bc).

Zeigen Sie:

(1) Bis auf die Existenz des multiplikativen Inversen sind alle Körperaxiome für (K ×K, ⊕, ⊙) erfüllt.

(2) (K × K, ⊕, ⊙) ist genau dann ein Körper, wenn k ≠ z^{2} für alle z ∈ K gilt.

(3) (K × K, ⊕, ⊙) ist i. a. kein angeordneter Körper.