Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 6. April 2000

Prof. Dr. A. Krieg

2. Klausur zur Analysis I, WS 99/00

Aufgabe 1: (4 Punkte) Zeigen Sie durch Induktion: Für alle n ∈ ℕ ist

\binom{2n}{n} ≥ \frac{4^{n}}{n + 1}.

Aufgabe 2: (2+3 Punkte) Sei a ∈ ℝ. Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert:

a) (\frac{(an + 1)^{2}}{n^{2} + a^{2}} )_{n≥1} ,  b) (\frac{n}{n^{2} + 1} log(\frac{n^{2} + 1}{n}))_{n≥1} .

Aufgabe 3: (5 Punkte)

Die Folge (a_{n})_{n≥1} sei rekursiv definiert durch a_{1} = 1 und a_{n+1} = \frac{1 + \sqrt{2a_{n}}}{4} , n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass die so definierte Folge monoton und konvergent ist. Bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Aufgabe 4: (4 Punkte)

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n}}{2n^{2} + 1}x^{n}.

Aufgabe 5: (2+3 Punkte)

a) Untersuchen Sie die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(\sqrt{k}π)}{k^{2} + 1} auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

b) Für welche x ∈ ℝ konvergiert die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{1 + x^{2n}}?

Aufgabe 6: (5 Punkte) Untersuchen Sie die Funktion f : (0; ∞) → ℝ, x ↦ (1 + \frac{1}{x})^{x}, auf Monotonie und bestimmen Sie die Grenzwerte lim_{x↓0} f(x) und lim_{x→∞} f(x).

Aufgabe 7: (5 Punkte) Zeigen Sie: Für x ∈ ℝ mit |x| < 1 ist

\frac{1}{2} log(\frac{1 + x}{1 − x}) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1}.

Aufgabe 8 (5 Punkte) Sei q ∈ (0; 1) und (a_{n})_{n≥1} eine Folge in ℂ mit der Eigenschaft

|a_{n+2} − a_{n+1}| < q |a_{n+1} − a_{n}| für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass (a_{n})_{n≥1} konvergiert.

Aufgabe 9 (5 Punkte) Zeigen Sie: arsinh : ℝ → ℝ ist differenzierbar mit Ableitung

arsinh′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

Aufgabe 10 (4 Punkte)

Seien a, b, c > 0. Bestimmen Sie den Grenzwert lim_{x→c} \frac{x^{a} − c^{a}}{x^{b} − c^{b}}.

Aufgabe 11 (3+2 Punkte) Sei ∅ ≠ D ⊂ ℝ. Zeigen Sie:

a) Sind f : D → ℝ und g : f(D) → ℝ gleichmäßig stetig, so ist g ∘ f gleichmäßig stetig.

b) Ist f : D → ℝ eine Funktion, zu der ein c > 0 existiert mit der Eigenschaft

|f(x) − f(y)| ≤ c |x − y| für alle x, y ∈ D,

so ist f gleichmäßig stetig.

Aufgabe 12: (4 Punkte) Sei D ⊂ ℝ offen und f : D → ℝ. Zeigen Sie: Ist f in x_{0} ∈ D differenzierbar, so gilt

lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0} − h)}{2h} = f′(x_{0}).

Folgt aus der Existenz des Limes auch die Differenzierbarkeit von f in x_{0}?

Aufgabe 13: (2+2 Punkte)

a) Formulieren Sie die beiden folgenden Sätze:

i) Bolzano-Weierstraß (für Folgen), ii) Identitätssatz für Potenzreihen.

b) Geben Sie Definition der folgenden Begriffe an:

i) offene Menge (in ℝ),

ii) Injektivität.