Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 18. Februar 2000 Prof. Dr. A. Krieg

Klausur zur Analysis I, WS 99/00

Aufgabe 1: (4 Punkte) Seien f, g : ℝ → ℝ beliebig oft differenzierbar. Zeigen Sie durch Induktion: Für alle n ∈ ℕ_{0} ist

(fg)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n−k)}.

Aufgabe 2: (3+3 Punkte) Sei a ∈ ℝ. Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert:

a) (\frac{a^{2n} − 1}{a^{2n} + 1})_{n≥1} ,  b) ((\sqrt{n^{2} + 1} − n) log(n))_{n≥1} .

Aufgabe 3: (6 Punkte) Die Folge (a_{n})_{n≥1} sei rekursiv definiert durch a_{1} = 0 und a_{n+1} = e^{a_{n}−1}, n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass die so definierte Folge konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert. Hinweis: Verwenden Sie e^{y} ≥ y + 1 für alle y ∈ ℝ.

Aufgabe 4: (4 Punkte)

Berechnen Sie den Wert der Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{n + 1}{3^{n}}.

Aufgabe 5: (3+3 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{5^{k}} \binom{2k}{k},  b) ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{2k − \frac{1}{k}} .

Aufgabe 6: (6 Punkte) Untersuchen Sie die Funktion

f : [0; ∞) → ℝ, x ↦ \begin{cases}x^{−x}, & falls x > 0, \\ 1, & falls x = 0, \end{cases}

auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit, bestimmen Sie maximale Intervalle, auf denen f monoton ist, sowie alle (lokalen und globalen) Extremstellen von f.

Aufgabe 7: (5 Punkte) Zeigen Sie durch Vergleich der Ableitungen: Für x > 0 gilt

arctan(\frac{1}{x}) = \frac{π}{2} − arctan(x)

Aufgabe 8 (3 Punkte) Sei ∅ ≠ M ⊂ ℝ abgeschlossen, f : M → ℝ stetig, c ∈ ℝ und N_{c} = {x ∈ M | f(x) = c}. Zeigen Sie, dass N_{c} abgeschlossen ist.

Aufgabe 9 (2+2 Punkte) Sei f : ℝ → ℝ, x ↦ \frac{π−2x}{3} + cos(x + \frac{π}{2})e^{x}. Zeigen Sie:

a) f hat auf [0; \frac{π}{2}] mindestens eine Nullstelle.

b) f hat auf [0; \frac{π}{2}] genau eine Nullstelle.

Aufgabe 10 (4 Punkte)

Bestimmen Sie lim_{x→∞} \frac{e^{−x}}{sin(\frac{1}{x})}.

Aufgabe 11 (4 Punkte) Sei f : ℝ → ℝ \ ℤ stetig. Zeigen Sie, dass ein n ∈ ℤ existiert mit f(ℝ) ⊂ (n; n + 1).

Aufgabe 12 (4 Punkte) Sei f : [0; ∞) → ℝ stetig. Zeigen Sie: Falls lim_{x→∞} f(x) existiert, dann ist f gleichmäßig stetig.

Aufgabe 13: (2+2 Punkte)

a) Formulieren Sie die beiden folgenden Sätze:

i) Mittelwertsatz der Differentialrechnung,

ii) Satz von Cauchy-Hadamard.

b) Sei I ⊂ ℝ ein nicht-leeres Intervall und f : I → ℝ eine Funktion.

a) Definieren Sie, wann f konvex heißt.

b) Definieren Sie, wann f in einem inneren Punkt von I nicht stetig ist.