Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 7. Januar 2000

Prof. Dr. A. Krieg

Probeklausur zur Analysis I

Aufgabe 1: (4 Punkte)

Zeigen Sie durch Induktion: Für alle n ∈ ℕ ist ∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = n^{2}.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Für welche (x, y) ∈ ℝ^{2} gilt |x + y| ≤ max{|x| , |y|}? Skizzieren Sie den Bereich!

Aufgabe 3: (5 Punkte) Sei ∅ ≠ M ⊂ ℝ, M beschränkt und inf M > 0. Zeigen Sie

inf{x^{−1} | x ∈ M} = (sup M)^{−1}.

Aufgabe 4: (5 Punkte) Für −1 ≠ z ∈ ℂ sei w = \frac{1−z}{1+z}.

1) Zeigen Sie: |z| < 1 ⟹ Re(w) > 0.

2) Zeigen Sie: Re(z) > 0 ⟹ |w| < 1.

3) Zeigen Sie w ≠ −1 und bestimmen Sie \frac{1−w}{1+w}.

Aufgabe 5: (5 Punkte) Seien X, Y nicht-leere Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn

f(A \ B) = f(A) \ f(B) für alle A, B ⊂ X.

Aufgabe 6: (5 Punkte) Die Folge (a_{n})_{n≥1} sei rekursiv definiert durch

a_{1} = 1 und a_{n+1} = \sqrt{2a_{n}} für alle n ∈ ℕ.

Untersuchen Sie (a_{n})_{n≥1} auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 7: (2+3+3 Punkte)

1) Zeigen Sie lim_{n→∞} \frac{n}{\sqrt{n(n+1)}} = 1, indem Sie für jedes ε > 0 ein n_{0} ∈ ℕ bestimmen, so dass

|\frac{n}{\sqrt{n(n+1)}} − 1| < ε für alle n ≥ n_{0}.

2) Untersuchen Sie die Folge (\frac{1−(1− \frac{1}{n})^{3}}{1−(1− \frac{1}{n})} )_{n≥1} auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls

den Grenzwert.

3) Sei a ∈ ℝ mit a ≥ 0. Zeigen Sie lim_{n→∞} \sqrt[n]{1 + a^{n}} = max\{1, a\}.

Aufgabe 8: (5 Punkte) Für n ∈ ℕ sei a_{n} = (1 + \frac{(−1)^{n}}{2n} )^{n}. Bestimmen Sie lim sup_{n→∞} a_{n} und geben Sie explizit eine Teilfolge

von (a_{n})_{n≥1} an, die gegen lim sup_{n→∞} a_{n} konvergiert.

Aufgabe 9: (5 Punkte) Sei M = {x^{2} + x^{−1} | x ∈ ℝ, 1 ≤ x ≤ 2} ⊂ ℝ. Zeigen Sie, dass M abgeschlossen ist.

Aufgabe 10: (3+2 Punkte)

1) Sei (a_{n})_{n≥1} eine reelle Folge, so dass die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolut konvergiert. Zeigen Sie, dass

dann auch ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} absolut konvergiert.

2) Bleibt die Aussage in 1) richtig, falls man statt absoluter Konvergenz von ∑_{n=1}^{∞} a_{n} nur Konver-

genz fordert?

Aufgabe 11: (2+3 Punkte) Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

1)  ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n(n+1)/2} \frac{n^{2}}{3^{n}} ,  2)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{\sqrt{n^{3} + 1}}.

Aufgabe 12: (2+2 Punkte)

1) Geben Sie die exakten Definitionen der beiden folgenden Begriffe:

a) Häufungspunkt einer Folge,

b) Supremum einer Menge.

2) Geben Sie die exakte Formulierung der beiden folgenden Sätze:

a) Satz von Bolzano-Weierstraß (für Folgen in ℂ),

b) Cauchy-Kriterium (für Reihen).