Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 14.11.2002

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

4. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Donnerstag, 21.11.2002, vor der Übung)

Hausaufgaben

Aufgabe 1: Es liege eine Kultur von anfänglich a_{0} Bakterien vor. Von diesen sterben ständig soviele Bakterien, dass nach jeweils einem Tag nur noch ein Anteil q mit 0 ≤ q < 1 der ursprünglichen Bakterien vorhanden ist. Um die Verluste auszugleichen, werden jeweils nach einem Tag b neue Bakterien hinzugefügt.

a) Ermitteln und beweisen Sie eine allgemeine Formel für die Anzahl a_{i} der nach i ∈ ℕ ∪ {0} Tagen vorhandenen Bakterien.

b) Wie muss man b wählen, damit die Anzahl der Bakterien nach 10 Tagen ka_{0} für ein k ∈ ℕ beträgt? Erläutern Sie das Ergebnis für k = 1.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, und geben Sie das kleinste N ∈ ℕ an, so dass |a_{n}− a| < 10^{−3} für n ≥ N gilt:

a) a_{n} = \frac{n+1}{2n−1} ,  b) a_{n} = \frac{6n−2}{3n+7} ,  c) a_{n} = 4^{−n}.

Aufgabe 3: Bestimmen Sie, falls möglich, den Grenzwert a der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}:

a) a_{n} = \frac{n^{2}+7n−3}{2n^{2}−5n+6} ,  b) a_{n} = \frac{3n^{3}−1}{4n^{2}+2} ,  c) a_{n} = \frac{n+1}{2n^{2}+1} ,  d) a_{n} = \frac{2n+(−1)^{n}n}{n} .

Aufgabe 4*: (Ein Populatiosmodell) Für eine (hypothetische) Population gelten folgende Gesetze:

• Die Generationen folgen in diskreten Schritten (etwa: Wochen) aufeinander.

• Jede Generation hat 1000 “Futterpakete” zur Verfügung. Ist x die Zahl der Individuen in dieser Generation, so erhält im Falle x ≤ 1000 jedes Individuum ein “Futterpaket”, im Falle x > 1000 erhalten nur 1000 Individuen ein “Futterpaket”.

• Individuen, die ein Futterpaket erhalten, produzieren zwei Nachkommen für die nächste Generation. Individuen, die kein Futterpaket erhalten, produzieren keine Nachkommen.

Es sei x_{n} die Anzahl der Individuen in Generation n ∈ ℕ_{0}, wobei x_{0} > 0 vorgegeben sei.

a) Stellen Sie eine Rekursionsformel auf, die die Bestimmung von x_{n+1} aus x_{n} erlaubt.

b) Bestimmen Sie das Verhalten der Folge (x_{n})_{n∈ℕ_{0}} für die Fälle x_{0} = 1 (ein Individuum am Anfang) bzw. x_{0} = 10000.

c) In welcher Weise hängt das Langzeitverhalten der Population von x_{0} ab? Begründung!

Präsenzaufgaben

Aufgabe 1: Eine Bevölkerung von 8 · 10^{7} Menschen im Jahre 2000 nehme jährlich um 1% ab (weil die Anzahl der Gestorbenen jeweils höher ist, als die Anzahl der Neugeborenen), wachse aber am Ende jedes Jahres um 3·10^{5} Menschen (Einwanderungsüberschuss). Wieviel Menschen gibt es im Jahre 2010?

Aufgabe 2: Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}:

a) a_{n} = \frac{2n^{3}+ n^{2}− 2n + 1}{5n^{3}+ n^{2}} , b) a_{n} = \frac{(−1)^{n}2n^{3}+ n^{2}− 2n + 1}{n^{4}+ 1} .

Aufgabe 3: Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n}. \underline{Hinweis:} Benutzen Sie die dritte binomische Formel.