Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 31.01.2002

Prof. Dr. R. L. Stens, Tel.: 80-94532 Dipl.-Math. A. Haß, Tel.: 80-94526

13. Übung zu Zahlbereichserweiterungen

(Abgabe: Donnerstag, 07.02.2002, \underline{vor} der Übung oder bis 10 Uhr im Übungskasten vor dem Sekretariat des Lehrstuhls)

Aufgabe 1: Betrachten Sie den ℝ-Vektorraum ℂ mit der Multiplikation (z, w) ↦ \overline{z} · \overline{w}. Zeigen Sie, dass ℂ damit zu einer ℝ-Algebra wird. Untersuchen Sie zudem, ob diese Algebra assoziativ, kommutativ sowie nullteilerfrei ist und ein Einselement

besitzt.  4

Aufgabe 2: Beweisen Sie ohne Benutzung des Fundamentalsatzes der Algebra die folgenden Aussagen:

a) Sei a ∈ ℂ, a ≠ 0. Dann existieren genau zwei verschiedene z ∈ ℂ mit z^{2} = a.  3

b) Seien a, b, c ∈ ℂ, a ≠ 0. Es gibt genau dann zwei verschiedene z ∈ ℂ mit az^{2} + bz + c = 0, wenn b^{2} − 4ac ≠ 0 gilt. Im Fall b^{2} − 4ac = 0 gibt es genau ein solches

z ∈ ℂ.  2

Aufgabe 3: Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Funktionen sin, cos : ℂ → ℂ:

a) Für alle N ∈ ℕ und t ∈ ℝ sei

cos t = ∑_{k=0}^{N−1}(−1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k)!} + r_{2N}(t), sin t = ∑_{k=0}^{N−1}(−1)^{k} \frac{t^{2k+1}}{(2k + 1)!} + r_{2N+1}(t).

Dabei gilt  |r_{n}(t)| ≤ \frac{|t|^{n}}{n!} für alle |t| ≤ n + 1, n ∈ ℕ.  3
b) cos 2 ≤ −\frac{1}{3}.  1
c) sin t > 0 für alle t ∈]0; 2].  1
d) cos |_{[0;2]} ist streng monoton fallend.  2
e) cos t hat genau eine Nullstelle im Intervall [0; 2].  1

Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass für eine Abbildung f : ℂ → ℂ die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) f(z) = f(0) + cz oder f(z) = f(0) + c\overline{z} mit c ∈ S^{1} := \{w ∈ ℂ; |w| = 1\}.

(ii) f ist abstandstreu, d. h. |f(w) − f(z)| = |w − z| für w, z ∈ ℂ.  4

Aufgabe 5: Beweisen Sie, dass jeder Kreis in ℂ durch eine Gleichung der Form

(∗)  Az\overline{z} + Bz + \overline{Bz} + C = 0 mit A, C ∈ ℝ, A ≠ 0 und B ∈ ℂ

beschrieben werden kann. Genauer gilt dann |B|^{2} > AC, und Mittelpunkt m bzw. Radius r > 0 sind durch

m = −\frac{\overline{B}}{A} bzw. r^{2} = \frac{|B|^{2} − AC}{A^{2}}

gegeben. Umgekehrt beschreibt (∗) im Fall A ≠ 0 und |B|^{2} > AC stets einen Kreis. Im

Fall A = 0 aber B ≠ 0 erhält man durch (∗) genau alle Geraden in ℂ.  4

Aufgabe 6: Die Gruppe GL_{2}(ℂ) der invertierbaren 2 × 2–Matrizen über ℂ operiert auf ℂ ∪ {∞} durch die sogenannten Möbiustransformationen

z ↦ M⟨z⟩ := \frac{αz + β}{γz + δ} , M = (\begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℂ), z ∈ ℂ ∪ \{∞\}.

Hierbei sei M⟨∞⟩ := \frac{α}{γ}, falls γ ≠ 0 und M⟨∞⟩ := ∞, falls γ = 0. Zeigen Sie für

M, N ∈ GL_{2}(ℂ), M = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) und w, z ∈ ℂ ∪ \{∞\}:

a) (MN)⟨z⟩ = M⟨N⟨z⟩⟩.  2
b) Aus M⟨z⟩ = M⟨w⟩ folgt z = w.  2
c) M⟨z⟩ = N⟨z⟩ ∀z ∈ ℂ ⇔ ∃ 0 ≠ λ ∈ ℂ mit M = λN.  2
d) M⟨z⟩ − M⟨w⟩ = \frac{det M}{(γz+δ)(γw+δ)}(z − w).  3

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