Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 28.01.2002

Prof. Dr. R. Stens J. Rettemeier J. Weiss

13. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Montag, den 04.02.2002, \underline{vor} der Übung)

Aufgabe 1: Führen Sie für die angegebenen Funktionen folgendes Programm durch:

(i) Definitionsbereich D_{f};
(ii) Grenzwerte an den Rändern von D_{f};
(iii) Nullstellen;
(iv) relative und absolute Extrema;
(v) Skizze.

a) f(x) = arctan \frac{x}{x−2}; b)* f(x) = e^{1/x}(x + 2).

Aufgabe 2: Zeigen Sie:

a) lim_{x→0+} x^{x} = 1;  b)* lim_{x→0} \frac{1}{sin x} − \frac{1}{x} = 0; c) lim_{x→0}(cos x)^{1/x^{2}} = e^{−1/2};
d) lim_{x→3} \frac{x^{2}−2x−3}{x^{2}−4x+3} = 2; e) lim_{x→∞} ^{\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}} = 1;  f)* lim_{x→5} \frac{x^{2}−3x−10}{x^{2}−4x−5} = \frac{7}{6};

g)* lim_{x→0} \frac{2−2 cos x}{x sin 2x} = \frac{1}{2}.

Aufgabe 3:* Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, dass für alle x ∈ ℝ^{+} gilt:

arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}

Aufgabe 4: Sei t ∈ ℝ. Bestimmen Sie für die Funktion

f_{t}(x) = \frac{x}{t log x − 1}

(i) den maximalen Definitionsbereich D_{f_{t}},
(ii) die Nullstellen,
(iii) das Verhalten von f_{t} an den Rändern des Definitionsbereiches,
(iv) relative und absolute Extremstellen.

Fertigen Sie für den Wert t = 2 eine Skizze von f_{t} an.

Lösungen (zu den nicht vorgerechneten Aufgaben von Übungsblatt 12) Aufgabe 1: (i) D_{f} = (−∞, 1), f′(x) = −\frac{cos (2x)}{1 − x} − 2 ln(1 − x) · sin(2x)

(ii) D_{f} = ℝ, f′(x) = − ln(19) · 19^{cos(x)} · sin(x)

(iii) D_{f} = ℝ \ \{\frac{π}{2}(4k + 1); k ∈ ℤ\} , f′(x) = \frac{− sin(t^{2}x) · t^{2} · (1 − sin x) + cos(t^{2}x) · cos x}{(1 − sin x)^{2}}

(vi) D_{f} = ∪_{n∈ℤ}[\frac{4n−1}{2}π, \frac{4n+1}{2}π], f′(x) = −\frac{sin x}{2\sqrt{cos x}}

Aufgabe 2: (i) D_{f} = ℝ^{+} (ii) x → ∞ ⇒ f(x) → 0 ; x → 0+ ⇒ f(x) → 3 (iii) Nullstellen für x ∈ \{\frac{2n+1}{2} · π; n ∈ ℕ_{0}\} (iv) Relative Maxima bei ( arctan(−\frac{1}{10}) + 2kπ, f(arctan(−\frac{1}{10}) + 2kπ)) mit k ∈ ℕ Relative Minima bei ( arctan(−\frac{1}{10})+(2k +1)π, f(arctan(−\frac{1}{10})+(2k +1)π)) mit k ∈ ℕ_{0} Absolutes Minimum bei ( arctan(−\frac{1}{10}) + π, f(arctan(−\frac{1}{10}) + π)); Absolutes Maximum: Fehlanzeige Monotonieintervalle: f monoton steigend auf den Intervallen [arctan(−\frac{1}{10}) + (2k − 1)π, arctan(−\frac{1}{10}) + 2kπ] mit k ∈ ℕ f monoton fallend auf den Intervallen [arctan(−\frac{1}{10}) + 2kπ, arctan(−\frac{1}{10}) + (2k + 1)π] mit k ∈ ℕ sowie auf dem Intervall (0, arctan(−\frac{1}{10}) + π]