Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 14.01.2002

Prof. Dr. R. Stens J. Rettemeier J. Weiss

11. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Montag, den 21.01.2002, \underline{vor} der Übung)

Aufgabe 1: Differenzieren Sie folgende Funktion f(x) und geben Sie den Definitionsbereich von f und f′ an:

(i)* x log_{2} x − x (ii)* e^{\sqrt{1−x^{2}}}  (iii) 19^{x}  (iv) \sqrt{5}(5x − 2)^{3}
(v) \frac{1}{4x}e^{2x}  (vi)* ln(\frac{x}{x + 1}) (vii)* e^{−4\sqrt{5x+1}} (viii) sin (x)^{cos(x)}.

Aufgabe 2: Durch Messung des Zerfalls radioaktiver Elemente lässt sich das Alter von Fossilien bestimmen. Das radioaktive ^{14}C hat eine Halbwertzeit von 5500 Jahren. Bezeichnet man mit M(t) bzw. M(0) die Masse an radioaktivem ^{14}C zum Zeitpunkt t bzw. 0 , so gilt folgendes Zerfallsgesetz M(t) = M(0)e^{−λt}.

a)* Bestimmen Sie die noch unbekannte, positive, reelle Zahl λ des Zerfallsgesetzes von 14C.

b) Wie alt ist ein Fossil, wenn man ein Viertel der ursprünglichen ^{14}C Menge M(0) findet?

c) Welchen Bruchteil der ursprünglichen Menge M(0) erwarten Sie bei einem vermutlich 50.000 Jahre alten Fossil?

Aufgabe 3:* Der Luftdruck l sinke nach n Höheneinheiten nach folgender Gesetzmäßigkeit:

l_{0} := l, l_{n} := l_{n−1} · 0, 87 (n ∈ ℕ).

In welchen Höhenabstandseinheiten halbiert sich der Luftdruck ?

Aufgabe 4:* Berechnen Sie für die angegebenen Funktionen die Asymptoten für x → ±∞.

a) f(x) = \frac{2x^{2} + 3x − 11}{3x^{3} + 1}; b) f(x) = \frac{x^{2} + 2x − 5}{x + 4}.

Aufgabe 5: Gegeben sei die Funktion f(x) =

a)* e^{\frac{x}{2x−2}} ; b) ln(\sqrt{x^{2} − 1}); c) \frac{(x − t)^{2}}{e^{|x|}} mit t ∈ ℝ.

i) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D(f) von f sowie die Nullstellen.

ii) Bestimmen Sie die Grenzwerte von f an den Rändern von D(f).

iii) Bestimmen Sie für a) und b) die Monotonieintervalle von f.

iv) Bestimmen Sie die relativen und absoluten Extremwerte von f.

v) Fertigen Sie eine grobe Skizze von f an. Wählen Sie bei c) die Parameter t = 1 und t = 2.

Verifizieren Sie bei c), dass f bei x = 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar ist.

Lösungen (zu den nicht vorgerechneten Aufgaben von Übungsblatt 10)

Aufgabe 1:

a) x = 1; c) x = 1, x = −1

Aufgabe 2:

a) D_{f} = ℝ \ {−1} x → ±∞ ⇒ f(x) → −1; x → −1 ⇒ f(x) → ∞

b)D_{f} = ℝ \ \{−\frac{1}{2}\} x → ±∞ ⇒ f(x) → 0; x → −\frac{1}{2} ⇒ f(x) → −∞

d) D_{f} = ℝ \ {−3} x → ∞ ⇒ f(x) → −∞; x → −∞ ⇒ f(x) → ∞; x → −3 ⇒ f(x) → 6

Aufgabe 3:

a) (i) D_{f} = ℝ \ {1} x → ∞ ⇒ f(x) → ∞; x → −∞ ⇒ f(x) → −∞; x → 1 ⇒ f(x) → ∞

(ii) f′(x) = \frac{x^{3}−3x^{2}}{(x−1)^{3}} ; f ist monoton steigend auf den Intervallen (−∞, 1) und [3, ∞]; f ist monoton fallend für x ∈ (1, 3]. Sattelpunkt bei (0, 0), lokales Minimum bei (3, \frac{27}{4}). Absolute Extrema gibt es keine. Nullstelle bei x = 0.

Aufgabe 4: a) Zum Induktionsschritt: (x^{n+1})′ = (x^{n} ·x)′ = n·x^{n−1} ·x+x^{n} = (n+1)x^{n}

b) (i) D_{f} = ℝ_{0}^{+}; f′(x) = \frac{1}{2·\sqrt{x+ \sqrt[4]{x}}} · [1 + \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}} ] ; D_{f′} = ℝ^{+} (also ohne 0).

Aufgabe 5: b) (i) 81 entspricht 4, 0 entspricht 1

(ii) g(x) = \frac{1}{3}3^{x} + 5

(iii) z. B. g(1) = 5, g(2) = 8, g(3) = 14, g(4) = 32.