Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 03.12.2001

Prof. Dr. R. L. Stens, Tel.: 80-94532 J.Rettemeier J.Weiss

7. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Abgabe: Montag, den 10.12.2001, \underline{vor} der Übung)

Aufgabe 1*: (Eine Anwendung der Determinanten) Es gilt der folgende Satz: Die n Vektoren \underline{a}_{1}, \underline{a}_{2}, …, \underline{a}_{n} ∈ ℝ^{n}, so sind sie genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der m × n - Matrix A = ( \underline{a}_{1} \underline{a}_{2} ⋯ \underline{a}_{n} ) ungleich 0 ist. Die Spalten der Matrix entsprechen also den Vektoren \underline{a}_{1}, \underline{a}_{2}, …, \underline{a}_{n}. Prüfen Sie mit Hilfe dieses Satzes die folgenden Vektoren auf lineare Abhängigkeit:

a) \underline{a}_{1} = (\begin{matrix}6 \\ 4 \end{matrix}) , \underline{a}_{2} = (\begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix}) ,

b) \underline{b}_{1} = (\begin{matrix}5 \\ −2 \\ 1 \end{matrix}) , \underline{b}_{2} = (\begin{matrix}4 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) , \underline{b}_{3} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) ,

c) \underline{c}_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) , \underline{c}_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ 3 \end{matrix}) , \underline{r}_{3} = (\begin{matrix}0 \\ −4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) , \underline{c}_{4} = (\begin{matrix}0 \\ 3 \\ −2 \\ 6 \end{matrix}) ,

Aufgabe 2: Bestimmen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz einer Folge (a_{n})_{n∈ℕ} den Grenzwert a, und geben Sie ein N ∈ ℝ an, so dass |a_{n} − a| < 10^{−3} für alle n > N gilt:

a)* a_{n} = \frac{n+1}{2n−1}; b) a_{n} = \frac{6n−2}{3n+7}; c)* a_{n} = \frac{n^{2}+n}{2n^{2}+1}.

Aufgabe 3: Bestimmen Sie, falls möglich, den Grenzwert a der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}

a)* a_{n} = \frac{n^{2}+7n−3}{2n^{2}−5n+6}; b) a_{n} = \frac{3n^{3}−1}{4n^{2}+2}; c) a_{n} = \frac{n+1}{2n^{2}+1}; d)* a_{n} = \frac{2n+(−1)^{n}n}{n}.

Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}; dabei ist a_{n} =

a) (6 + \frac{1}{n}) (\frac{n+2}{2n+1} − 1);  b)* \frac{n+1}{\sqrt{2n^{2}+1}};  c) ^{n} \sqrt{q} (mit 0 < q ≤ 1)).

Aufgabe 5: Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} konvergiert gegen die Eulersche Zahl e = 2.718 … Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}; dabei ist a_{n} =

\begin{matrix}a)* (1 + \frac{1}{2n})^{2n}; & b) (1 + \frac{1}{2n})^{4n}; & c) (\frac{4n+1}{4n})^{n}; & d)* (\frac{4n−1}{4n−2})^{n}; \\ e)* (\frac{4n−2}{4n−1})^{n}; & f) (\frac{3n+1}{3n+2})^{6n+5} . \end{matrix}

Aufgabe 6: Berechnen Sie, falls möglich, den Grenzwert a der Folge (a_{n})_{n∈ℕ} :

\begin{matrix}a) a_{n} = \sqrt{n^{2} + n} − n, & b)* a_{n} = \sqrt{n^{2} + 1} − \sqrt{n^{2} − 4n + 5}, \\ c) a_{n} = n (1 − ^{4} \sqrt{1 − \frac{1}{n}}) . \end{matrix}

Lösungen (zu den nicht vorgerechneten Aufgaben von Übungsblatt 6)

Aufgabe 2: Die Knutts verfehlen ihr Ziel um ca. 0, 15^{∘}. Mit einer entsprechenden Korrektur ergibt sich eine sehr gute Annäherung an die SW-Richtung. Die Geschwindigkeit in diesem Fall beträgt etwa 80, 2 km/h.

Aufgabe 3:

a) ja; Basis (nicht eindeutig): (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) b) nein c) nein

Aufgabe 4: Die Aussage gilt für alle n ∈ ℕ.

Aufgabe 5:

a) 𝕃 = {−1}

b) 𝕃 = (−1, ∞)

c) 𝕃 = (−∞, −1)