Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 19.11.2001

Prof. Dr. R. L. Stens, Tel.: 80-94532 J.Rettemeier J.Weiss

5. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Abgabe: Montag, den 26.11.2001, \underline{vor} der Übung)

Aufgabe 1: Gegeben seien die Vektoren \underline{u} = (−3, 1, 2), \underline{v} = (4, 0, −8), \underline{w} = (6, −1, −4).

a) Berechnen Sie die Komponenten der Vektoren

(i) \underline{v} − \underline{w} (ii) 6\underline{u} + 2\underline{v} (iii) −3(\underline{v} − 8\underline{w}) (iv) (2\underline{u} − 7\underline{w}) − (8\underline{v} + \underline{u}).

b) Bestimmen Sie die Komponenten des durch 2\underline{u} − \underline{v} + \underline{x} = 7\underline{x} + \underline{w} gegebenen Vektors \underline{x}.

c) Berechnen Sie Skalare c_{1}, c_{2}, c_{3} ∈ ℝ mit c_{1}\underline{u} + c_{2}\underline{v} + c_{3}\underline{w} = (2, 0, 4).

Aufgabe 2*: Gegeben sind die Vektoren \underline{a} = (2, 3, −1), \underline{b} = (1, −1, 1), \underline{c} = (1, 4, −2).

a) Sind \underline{a} und \underline{b} linear unabhängig?

b) Sind \underline{a}, \underline{b} und \underline{c} linear unabhängig?

c) Bestimmen Sie alle Vektoren \underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), für die \underline{a} · \underline{x} = 5, \underline{b} · \underline{x} = 2 und \underline{c} · \underline{x} = 6 gilt.

Aufgabe 3*: Bestimmen Sie die (ganzzahligen) Komponenten a_{1}(≤ 0), a_{2} des Vektors \underline{a} = (a_{1}, a_{2}, −6, 4, −2) mit |\underline{a}| = 9 sowie die Komponenten b_{3}, b_{4}, b_{5} des Vektors \underline{b} = (20, −15, b_{3}, b_{4}, b_{5}), wobei dieser ein ganzzahliges Vielfaches des Vektors \underline{a} sein soll.

Aufgabe 4: Gegeben sind die Vektoren \underline{a} = (2, 3, 6), \underline{b} = (1, 2, 3), \underline{c} = (1, 1, 1) und \underline{d} = (2, 4, 8).

a) Sind die Vektoren \underline{a}, \underline{b}, \underline{c}, \underline{d} linear abhängig? (Wenn ja, stellen Sie einen der vier Vektoren als Linearkombination der anderen dar.)

b) Sind die Vektoren \underline{a}, \underline{b}, \underline{c} linear unabhängig?

c) Welche der folgenden Mengen bilden eine Basis des ℝ^{3}, und welche sind kein Erzeugendensystem des ℝ^{3} ?

\{\underline{a}, \underline{b}\}, \{\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}\}, \{\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}, \underline{d}\}

Aufgabe 5*: Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptung: Im ℝ^{3} seien die Vektoren \underline{x}, \underline{y}, \underline{z} gegeben, und je zwei von ihnen seien linear unabhängig. Dann ist \{\underline{x}, \underline{y}, \underline{z}\} linear unabhängig.

Aufgabe 6: a)* Bilden die folgenden drei Vektoren eine Basis des ℝ^{3}?

\underline{a}_{1} = (1, 0, 2), \underline{a}_{2} = (0, −1, 1), \underline{a}_{3} = (3, −1, 1)

b)* Bilden die folgenden drei Vektoren eine Basis des ℝ^{3}?

\underline{b}_{1} = (3, 1, 0,), \underline{b}_{2} = (−1, 1, 1,), \underline{b}_{3} = (0, 0, 0)

c) Bilden die folgenden drei Vektoren ein Erzeugendensystem des ℝ^{3}?

\underline{c}_{1} = (4, 3, −2), \underline{c}_{2} = (−2, −1, −2), \underline{c}_{3} = (2, 3, −10)

d) Bilden die folgenden drei Vektoren ein Erzeugendensystem des ℝ^{3}?

\underline{d}_{1} = (4, 3, −2), \underline{d}_{2} = (−2, −1, −2), \underline{d}_{3} = (2, 3, 0)

Aufgabe 7: Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des ℝ^{3}?

\begin{matrix}a)* & \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}; x_{1} = 0\} \\ b) & \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}; x_{1} + x_{2} = x_{3}\} \\ c)* & \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}; x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1\} \end{matrix}

Aufgabe 8: Gegeben seien die folgenden Matrizen:

A = (\begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 \end{matrix} )

D = (\begin{matrix}1 & 5 & 2 \\ −1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{matrix} ) , E = (\begin{matrix}6 & 1 & 3 \\ −1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} ) .

Bilden und berechnen Sie alle definierten Summen und Produkte aus je zwei Summanden bzw. Faktoren.

Lösungen (zu den nicht vorgerechneten Aufgaben von Übungsblatt 4)

Aufgabe 1: Die jährliche Sauerstoffproduktion eines Baumes reicht für 2 Stunden 39 Minuten.

Aufgabe 3:

a) Es müssen 600ml des Stoffes A mit 400ml des Stoffes B gemischt werden.

b) Die Konzentration von C beträgt 2,2%.

Aufgabe 6: Im Jahr 2002 leben ca. 7, 4 · 10^{7} = 74 Millionen Menschen in der angesprochenen Bevölkerung (genaueres Ergebnis: 74.319.244).

Aufgabe 7: Das Gemisch muss in Bezug auf die Gewichtsanteile 20% von Variation A und 80% von Variation B enthalten.