Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 12.11.2001

Prof. Dr. R. Stens J. Rettemeier J. Weiss

4. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Montag, den 19.11.2001, \underline{vor} der Übung)

Aufgabe 1: Ein Laubbaum mit einer mittleren Lebensdauer von 100 Jahren produziert insgesamt 6600 kg Sauerstoff (O_{2}). Ein PKW verbraucht im Stadtverkehr 290 Liter O_{2} pro Minute. Die Dichte von O_{2} beträgt 1, 43 kg/m^{3}. Für wie lange reicht die jährliche O_{2}-Produktion eines Laubbaumes?

Aufgabe 2: * Ein hochgereinigtes Enzym habe eine spezifische Aktivität von 300 Units pro mg und eine molare Masse von 60000 Dalton. Wie viele Substratmoleküle setzt ein Enzymmolekül pro Sekunde um? (1 Unit entspricht der Umsetztung von 1 μmol Substrat pro Minute. Die molare Masse gemessen in Dalton gibt an, wie viel Gramm ein Mol wiegt. Z. B.: Hat eine Substanz die molare Masse von einem Dalton, dann wiegt 1 mol der Substanz genau 1 g. Ein Mol jeder Substanz besitzt etwa 6 · 10^{23} Moleküle.)

Aufgabe 3: Es liegen drei Lösungen A, B und C eines Stoffes vor, wobei A 5%-ig und B 10%-ig sei.

a) Wieviel muß man von den Lösungen A und B mischen, um einen Liter einer 7%-igen Lösung zu erhalten?

b) Eine Mischung von 1 Liter A, 2 Liter B und 20 Liter C ist 3%-ig. Wie hoch ist die Konzentration in C?

Aufgabe 4: * Man hat zwei Thermoskannen A und B mit Kaffee. In jedem Liter des Kaffees in A (B) sind 30 g (60 g) Milchpulver und 60 g (10 g) Zucker gelöst. Wie viel Kaffee benötigt man aus den beiden Kannen, um eine Tasse (200 ml) Kaffee mit gleich viel Zucker wie Milchpulver zu erhalten?

Aufgabe 5: * Es liege eine Kultur von anfänglich a_{0} Bakterien vor. Von diesen sterben ständig so viele Bakterien, dass nach jeweils einem Tag nur noch ein Anteil q mit 0 ≤ q < 1 der ursprünglichen Bakterien vorhanden ist. Um die Verluste auszugleichen, werden jeweils nach einem Tag b neue Bakterien hinzugefügt.

i) Ermitteln und beweisen Sie eine allgemeine Formel für die Anzahl a_{i} der nach i ∈ ℕ_{0} Tagen vorhandenen Bakterien. ii) Wie muss man b wählen, damit die Anzahl der Bakterien nach 10 Tagen k · a_{0} für ein k ∈ ℕ beträgt? Erläutern Sie das Ergebnis für den Fall k = 1.

Aufgabe 6: Eine Bevölkerung von 8 · 10^{7} Menschen im Jahre 1990 nehme jährlich um 1% ab (weil die Anzahl der Gestorbenen jeweils höher ist, als die Anzahl der Neugeborenen), wachse aber am Ende jedes Jahres um 3 · 10^{5} Menschen (Einwanderungsüberschuss). Wie viele Menschen gibt es im Jahr 2002?

Aufgabe 7: Von einem Enzym gebe es die beiden Varianten A und B. A (B) habe eine spezifische Aktivität von 2000 (1500) Units pro mg Protein bei einer molaren Masse von 60000 (30000) Dalton. Bestimmen Sie die prozentualen Gewichtsanteile der beiden Varianten in einem Gemisch, in dem jedes Enzymmolekül pro Sekunde durchschnittlich 1000 Substratmoleküle umsetzt.

Lösungen zur 3. Übung:

Aufgabe 2: Es werden 0,0024 g Natriumazid benötigt.

Aufgabe 5: ii) L = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; x = \frac{9−3z}{2}, y = \frac{7+z}{2}, z ∈ ℝ\} iii) x = 2, y = 2, z = 2 iv) Es gibt keine x, y, z ∈ ℝ, die diese Gleichungen erfüllen.

Aufgabe 6:

b) L = {−2, −3, 0}

c) L = \{−1 − \frac{2}{\sqrt{3}}, −1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\}

d) L = {2, −2, 3, −3}

e) L = {−1}

f) L = ∅

g) L = ∅

h) L = {x ∈ ℝ; x ≤ 1}

j) L = \{0\}, da \frac{x^{2}−x−2}{x+1} für x = −1 nicht definiert ist.

k) = f)