Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 5.11.2000

Prof. Dr. R. Stens J. Rettemeier J. Weiss

3. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Montag, den 12.11.2001, \underline{vor} der Übung)

Aufgabe 1: * 500 ml YEPG-Medium enthalten: 10 g Glucose, 5 g Pepton, 2,5 g Hefeextrakt und 10 g Agar-Agar in Wasser gelöst. Für eine Petrischale benötigt man 20 ml Medium. Welche Mengen der zu lösenden Substanzen benötigen Sie, um 16 Petrischalen zu füllen?

Aufgabe 2: Wieviel Natriumazid wird benötigt, um 12 ml einer 0,02 % Lösung herzustellen?

Aufgabe 3: Für welche natürlichen Zahlen n ∈ ℕ gelten die folgenden Ungleichungen:

a) n^{2} − 1 > \frac{(n + 1)^{2}}{2}  b)* \binom{2n}{n} ≥ 2^{n} c) ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n + 1}.

Aufgabe 4: Sei m eine fest vorgegebene natürliche Zahl. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für alle n ∈ ℕ mit n ≥ m :

∑_{k=m}^{n} \frac{1}{k}\binom{k}{m} = \frac{1}{m}\binom{n}{m}.

Aufgabe 5: Bestimmen Sie alle x, y, z ∈ ℝ, die folgende Gleichungen erfüllen:

i)* 3x + 4y + z = 23  ii) x + y + z = 8
x + 2z = 12  x − y + 2z = 1
y + z = 8  3x + y + 4z = 17
iii) 2x + y + z = 8  iv) x + y − 2z = 3
x + 2y + z = 8  x + 3y + z = 10
x + y + 2z = 8  x + y − z = 4
x − y = 2

Aufgabe 6: Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

a)* x^{2} − 8x + 15 = 0  b) x^{3} + 5x^{2} = −6x
c) x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 = (x + 3)^{2} · x d) x^{4} + 36 = 13x^{2}
e) \sqrt{2x^{2} − 1} + x = 0  f) \sqrt{4x^{2}} − x + 2 = 0
g) \sqrt{2x^{2} + 3} + x = 0  h) \sqrt{x^{2} − 2x + 1} + x − 1 = 0
i)* \sqrt{2x^{2} − 1} + x = 0  j) \frac{3x^{2} + 4}{3x − 2} = \frac{x^{2} − x − 2}{x + 1}
k) \sqrt{4x^{2}} − x + 2 = 0

Lösungen zur 2. Übung

Aufgabe 1:

c) \frac{a^{6} · b^{7}}{b · a^{3} · (a + b)^{3}} = \frac{a^{3} · b^{6}}{(a + b)^{3}}

d) \frac{(a · a^{2} · a^{b})^{3}}{b^{9} · (b^{3})^{b}} = \frac{a^{3b+9}}{b^{3b+9}} = (\frac{a}{b})^{3b+9}

Aufgabe 2: b) Lösung mit Fallunterscheidung:

1. Fall: x ≥ 2 ergibt die Lösungsmenge 𝕃_{1} = [2, ∞).

2. Fall: x ∈ [−3, 2) ergibt die Lösungsmenge 𝕃_{2} = [−3, 2).

3. Fall: x < −3 ergibt die Lösungsmenge 𝕃_{3} = (−∞, −3). Also ist die Lösungsmenge 𝕃 der Gleichung |x − 2| + |x + 3| ≥ 5 gegeben durch 𝕃 = 𝕃_{1} ∪ 𝕃_{2} ∪ 𝕃_{3} = ℝ.

Aufgabe 3: b) 𝕃 = {−3} ∪ [3, 5]

Aufgabe 5: b) Angenommen die Aussage

A(n) : ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{n}{n + 1}

gilt, dann folgt:

∑_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k + 1)} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}

= \frac{n}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{n + 1}{n + 2}.

Somit kann aus der Gültigkeit von A(n) auf die Gültigkeit von A(n + 1) geschlossen werden. Da A(1) gilt, ist die Aussage A(n) für alle n ∈ ℕ bewiesen.