LEHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK Aachen, den 29.10.2001 Prof.Dr.R.Stens J.Rettemeier J.Weiss

2.Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Montag, den 5.11.2001, \underline{vor} der Übung)

Aufgabe 1: Es seien a, b, c ∈ ℕ. Vereinfachen Sie folgende Terme:

\begin{matrix}a)* \frac{100 · 25 · 10^{6} · 1000 · 25^{2} · 4^{3}}{1000000} & b)* ((64^{\frac{1}{2}} )^{\frac{1}{3}} + \frac{\sqrt{2} · 5 · \sqrt{5} · \sqrt{10}}{2})^{\frac{2}{3}} − 9 \\ c) \frac{a^{6} · b^{7}}{b · a^{3} · (a + b)^{3}} & d) \frac{(a · a^{2} · a^{b})^{3}}{b^{9} · (b^{3})^{b}} \\ e)* (a^{b})^{c} · (a^{−b})^{c} · (a^{b})^{−c} · (a^{−b})^{−c} & f)* a^{−2b} · (2a^{4b} + (a · a^{2b})^{2} · a^{−2}). \end{matrix}

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen:

a)* |x − 1| + x ≤ 5 b) |x − 2| + |x + 3| ≥ 5 c)* 3x^{2} ≥ |x||x − 1|

Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen:

a)* x + 3 > \frac{x + 18}{3x − 2}  b) \sqrt{x^{2} − 9} ≤ \frac{x + 3}{2}

Aufgabe 4*: Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung mittels vollständiger Induktion: Sei a eine reelle Zahl mit a > −1, so gilt für alle n ∈ ℕ:

(1 + a)^{n} ≥ 1 + na

Aufgabe 5: Führen Sie den Induktionsschluss von A(n) auf A(n + 1) durch:

a)* A(n) : ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{2n + 1}{n + 1}  b) A(n) : ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{n}{n + 1}

Welche der beiden Aussagen A(n) gilt für alle n ∈ ℕ?

Aufgabe 6*: Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für alle natürlichen Zahlen n und alle von 1 verschiedenen reellen Zahlen q:

∑_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1 − q^{n+1}}{1 − q}

Lösungen (zu den nicht vorgerechneten Aufgaben aus Übung 1)

Aufgabe 1: a) {1, 2, 3, 4, 5, 6} Aufgabe 2: D ⊂ A ⊂ C ⊂ B Aufgabe 3: A ∩ B = {6, 12, 18, 24, …} = C A ∩ C = {6, 12, 18, 24, …} = C B ∩ C = {6, 12, 18, 24, …} = C A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …} = {x ∈ ℕ; 2 teilt x ∨ 3 teilt x} A ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, …} = A B ∪ C = {3, 6, 9, 12, …} = B A \ B = {2, 4, 8, 14, 16, …} = {x ∈ ℕ; 2 teilt x ∧ 3 teilt nicht x} B \ A = {x ∈ ℕ; 3 teilt x ∧ 2 teilt nicht x} A \ C = {x ∈ ℕ; 2 teilt x ∧ 6 teilt nicht x} C \ A = {x ∈ ℕ; 6 teilt x ∧ 2 teilt nicht x} = ∅ B \ C = {x ∈ ℕ; 3 teilt x ∧ 6 teilt nicht x} = {3, 9, 15, 21, 27, …} = 3 + 6 · ℕ_{0} C \ B = ∅ (A ∪ B) ∩ C = {x ∈ ℕ; 2 teilt x ∨ 3 teilt x} ∩ {6, 12, 18, 24, …}= {6, 12, 18, 24, …} = C (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = C ∪ C = C

Aufgabe 5: a) (ii): 0 + 1 + 3 + 6 + 10 = 20

Aufgabe 6: b) ∑_{n=8}^{9} \frac{n · (n + 1)}{2} = 81

Termine für die Übungsgruppen

Nr.  Tag  Zeit  Hörsaal  Leitung
I  Di  12:15–13:45  6019  Rettemeier
II  Mi  10:00–11:30  F 60  Rettemeier
III  Mi  12:00–13:30  6019  Rettemeier
IV  Do  12:00–13:30  H 218  Weiss
V  Do  14:00–15:30  BS 1  Weiss
VI (neu)  Mi  10:00–11:30  BS 218  Weiss

Klausurtermin: Sa. 02.02.2002 um 12:00 Uhr im AM