LEHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK Aachen, den 22.10.2001 Prof. Dr. R. Stens J. Rettemeier J. Weiss

1. Übung zur Mathematik für Biologen

(Abgabe: Montag, den 29.10.2001, \underline{vor} der Übung)

Hinweis: Die in der Vorlesung ausgeteilten Übungsblätter sollen es Ihnen ermöglichen, den vorgestellten Stoff anhand von Aufgaben einzuüben. Die Bearbeitung der Aufgaben ist vollkommen freiwillig, wird Ihnen aber sehr empfohlen. Falls Sie möchten, dass ihre Bearbeitungen korrigiert werden, geben Sie diese bitte zu Beginn der jeweils nächsten Übung ab. In der Übung werden dann Lösungen zu ausgewählten Aufgaben (diese sind mit einem * gekennzeichnet) vorgestellt. Sie erhalten Ihre korrigierten Bearbeitungen eine Woche später in der darauf folgenden Übung zurück. Erster Übungstermin ist der 22.10.2001 von 12:00 bis 12:45 Uhr im Hörsaal AH II. Die Einteilung in die Diskussionsgruppen erfolgt ebenfalls an diesem Termin. Einzige Bedingung zur Erlangung des Scheins ist das Bestehen der Klausur. Der genaue Termin wird noch bekanntgegeben. Die Übungsblätter finden Sie auch unter

http://www.mathA.rwth-aachen.de/lehre/WS01/Biologie

Aufgabe 1: Stellen Sie die folgenden Mengen in der aufzählenden Form dar:

a) {x ∈ ℕ; x ≤ 6}  b)* {x ∈ ℕ; x ist eine Primzahl mit x ≤ 35}
c)* {x ∈ ℝ; x^{4} − 2x^{2} = 0}  d)* {x ∈ ℚ; x^{4} − 2x^{2} = 0}

e)* {x ∈ ℝ; x^{2} = −4}

Aufgabe 2: Bringen Sie die folgenden Mengen in eine aufsteigende (bzw. abfallende) Kette bzglüglich der Teilmengenrelation.

A:={1, 3, 5, 7, 9, 13} , B:= {x ∈ ℤ; 2 teilt nicht x},

C:= Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen, D:= ∅

Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden drei Mengen:

A := {2, 4, 6, …}, B := {3, 6, 9, …}, C := {6, 12, 18, …}.

Wenden Sie auf alle drei Paare von Mengen die Verknüpfungen ∩, ∪ sowie \ an. Verifizieren Sie anhand obiger Mengen das Distributivgesetz (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

Aufgabe 4:* Gegeben seien die folgenden Teilmengen von ℕ: A := Menge aller geraden natürlichen Zahlen. B := Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen. C := Menge aller Primzahlen. Bestimmen Sie A ∪ B, A ∩ B, A ∩ C, A \ B, B ∩ C, A ∪ C, B ∪ C.

Definition 1: Für beliebige ganze Zahlen p, q definiert man:

∑_{k=p}^{q} a_{k} := \{ \begin{matrix}0, & falls q < p, \\ a_{p} + a_{p+1} + … + a_{q}, & falls q ≥ p, \end{matrix}

wobei die a_{k} irgendwelche Objekte (z.B. Zahlen, Vektoren, Funktionen, …) sind.

Aufgabe 5: Berechnen Sie die folgenden Summen bzw. fassen Sie zu einer Summe zusammen.

a) (i)* ∑_{j=1}^{5} \frac{(j + 1)(j + 3)}{2j − 1}  (ii) ∑_{n=0}^{4} \frac{n(n + 1)}{2}
b) (i)* 1 + 4 + 9 + 16 + … + 625 (ii)* 2 + 4 + 6 + 8 + … + 150
(iii)* 1 + 3 + 5 + 7 + … + 51  (iv)* 3 + 2 + \frac{5}{3} + \frac{3}{2} + \frac{7}{5} + \frac{4}{3} + \frac{9}{7} + \frac{5}{4}

Hinweis zu (iv): Schreiben Sie alle Summanden als Brüche und erweitern sie diese geschickt.

Aufgabe 6 Vereinfachen Sie folgende Terme durch eine geschickte Indexverschiebung. Dabei ist eine Indexverschiebung eine Umbenennung der vorkommenden Indizes in der folgenden Art (alle vorkommenden Größen b_{j} seien wohldefiniert):

∑_{j=k}^{l} b_{j} = ∑_{j=k−m}^{l−m} b_{j+m} (k, l, m ∈ ℤ).

(i) ∑_{n=1}^{7} \frac{(n + 2)(n + 3)}{2} − ∑_{n=3}^{7} \frac{n(n + 1)}{2} (ii)* ∑_{n=0}^{3} \frac{n + 1}{n + 2} − ∑_{n=1}^{4} \frac{n}{n + 1}

Termine für die Übungsgruppen

Nr.  Tag  Zeit  Hörsaal  Leitung
I  Di  12:15–13:45  6019  Rettemeier
II  Mi  10:00–11:30  F 60  Rettemeier
III  Mi  12:00–13:30  6019  Rettemeier
IV  Do  12:00–13:30  H 218  Weiss
V  Do  14:00–15:30  BS 1  Weiss
VI  Fr  12:00–13:30  BS 312  Weiss