Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 30.1.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

6. Übung „Topologische Vektorräume“

(Abgabe: 13.2.2001 vor der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei (F, G) ein Dualsystem, A ⊂ F und D die kreisförmige Hülle von A (siehe Lemma I.3). Beweisen oder widerlegen Sie:

a) A^{0} = D^{0},

b) A = {0} ⇔ A^{0} = G,

c) A = F ⇔ A^{0} = {0}. 6

Aufgabe 2: Beweisen Sie Lemma II.18: Sei f ein stetiger linearer Operator von E in F, wo E und F lokalkonvexe Hausdorffräume mit topologischen Dualräumen E′ und F′ seien. Dann ist f auch stetig als Abbildung von (E, σ(E, E′)) in (F, σ(F, F′)).

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Aufgabe 3: Beweisen Sie Lemma III.1: Sei E ein lokalkonvexer Raum und U eine Nullumgebungsbasis aus absolut konvexen und absorbierenden Mengen. Weiter sei Q eine Familie von Halbnormen auf E, die die Topologie von E erzeugt. Für eine bel. Teilmenge B ⊂ E sind äquivalent:

a) B ist beschränkt.

b) B wird von jeder Nullumgebung absorbiert.

c) Zu jedem U ∈ U existiert ein ϱ > 0, so dass B ⊂ ϱU.

d) Für jede Halbnorm ϱ ∈ Q ist ϱ(B) eine beschränkte Menge in ℝ. 5 Aufgabe 4: Beweisen Sie Folgerung III.1 und Lemma III.4: Sei (F, G) ein Dualsystem und B ⊂ F. Folgende Aussagen sind äquivalent:

a) B ist σ(F, G)-beschränkt.

b) Für alle y ∈ G ist ⟨B, y⟩ := {⟨x, y⟩; x ∈ B} beschränkt in 𝕂.

c) q(y) := sup {|⟨x, y⟩|; x ∈ B} ist eine Halbnorm auf G.

d) B^{0} ist eine absorbierende Teilmenge von G.

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Definition: Für einen topologischen Vektorraum E ist die \underline{Dimension} dim E definiert als die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Für einen Vektorunterraum M ist die \underline{Codimension} codim M definiert als die Dimension von E/M. Aufgabe 5: Zeigen Sie für einen Hausdorffraum E die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) Jeder Unterraum endlicher Codimension ist dicht in E.

b) Es existiert keine abgeschlossene Hyperebene in E.

c) Kein endlich-dimensionaler Unterraum M besitzt einen komplementären Unterraum, d.h. es existiert kein M ⊂ E mit dim M < ∞, so dass ein Unterraum N ⊂ E existiert mit E = M ⊕ N.

7 Definition: Ein lokalkonvexer Raum heißt \underline{bornologisch}, falls jede absolut konvexe Menge, die alle beschränkten Mengen absorbiert, eine Nullumgebung ist.

Aufgabe 6:

a) Zeigen Sie, dass Lemma III.3 nicht umkehrbar ist, d.h. dass lokalkonvexe Räume E, F und eine beschränkte lineare Abbildung f von E in F existieren, so dass f nicht stetig ist.

b) Seien E, F lokalkonvexe Räume und f eine beschränkte lineare Abbildung von E in F. Sei B eine Teilmenge von F, die alle beschränkten Teilmengen absorbiert. Zeigen Sie, dass f^{−1}(B) alle beschränkten Mengen in E absorbiert.

c) Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) E ist bornologisch;

(ii) Für jeden lokalkonvexen Raum F gilt: Alle beschränkten linearen Abbildungen f : E → F sind stetig.

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Hinweis zu a): Man wähle für F einen unendlich dimensionalen Banachraum (E, ∥·∥_{E}) und für E den Raum (E, σ(E, E′)), wobei E′ der topologische Dualraum von (E, ∥·∥_{E}) ist. Der Beweis, dass f = id nicht stetig ist, kann dann z. B. für

E = L_{2π}^{2} mit ∥x∥_{L_{2π}^{2}} = {∫_{−π}^{π} | x(t) |^{2} dt}^{1/2} geführt werden.

Aufgabe 7:

a) Zeigen Sie, dass die kreisförmige Hülle und der Abschluß einer präkompakten Menge A ⊂ E eines topologischen Vektorraumes E präkompakt sind. (Hinweis: Es darf benutzt werden, dass E_{1} × E_{2} ein topologischer Vektorraum ist, falls E_{1} und E_{2} topologische Vektorräume sind.)

b) Sei E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Zeigen Sie: Ist A ⊂ E präkompakt, dann ist conv(A) i.allg. nicht präkompakt und nicht beschränkt. (Hinweis: Man betrachte A := {n^{−1/2}(δ_{kn})_{k∈ℕ}; n ∈ ℕ} ⊂ l^{1/2})

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Aufgabe 8: Beweisen Sie Lemma III.25: Sei E lokalkonvex und A ⊂ E. Äquivalent sind die folgenden Aussagen:

(i) A ist präkompakt;

(ii) Jeder Filter F mit A ∈ F besitzt eine Verfeinerung, die Cauchy-Filter ist.

(iii) Jeder Ultrafilter F mit A ∈ F ist Cauchy-Filter.

4 Aufgabe 9: Zeigen Sie am Beispiel des Dualsystems (c_{0}, l^{1}), dass Vollständigkeit nicht invariant unter kompatiblen Topologien ist. (Die Kompatibilität der Normtopologie von c_{0} muß nicht bewiesen werden.)

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Definition: a) Sei E ein topologischer Vektorraum und A ⊂ E. A heißt eine \underline{Tonne in E}, falls A absolut konvex, absorbierend und abgeschlossen ist.

b) Ein lokalkonvexer Raum E heißt \underline{tonneliert}, wenn jede Tonne eine Nullumgebung ist.

Definition: Ein lokalkonvexer Raum (E, T ) heißt \underline{absolut stark}, falls T = β(E, E′), wobei E′ der topologische Dualraum von E ist.

Aufgabe 10:

a) Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Zeigen Sie: E ist tonneliert genau dann, wenn E absolut stark ist.

b) Sei E ein tonnelierter Hausdorffraum mit topologischem Dualraum E′. Zeigen Sie: Die abgeschlossene konvexe Hülle jeder σ(E′, E)-kompakten Teilmenge von E′ ist σ(E′, E)-kompakt, ebenso die abgeschlossene absolutkonvexe Hülle.

(Hinweis: Verwenden Sie Folg. III.9)

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