Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 9.1.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

5. Übung „Topologische Vektorräume“

(Abgabe: 23.1.2001 vor der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei E ein topologischer Vektorraum und f ∈ E^{∗}, f ≠ 0.

Zeigen Sie: Für alle offenen Mengen A ⊂ E gilt: f(A) ist offen. (Lemma II.10)  3

Aufgabe 2: Sei E ein lokalkonvexer Raum, B ⊂ E konvex und a ∉ \overline{B}. Zeigen Sie:

a) Es existiert ein f ∈ E′ mit f(a) ∉ \overline{f(B)} (Folgerung II.5).

b) Ist B zusätzlich kreisförmig, so existiert ein f ∈ E′ mit |f(x)| ≤ 1 für alle x ∈ B und f(a) > 1 (Folgerung II.6).

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Aufgabe 3: Sei E ein lokalkonvexer Raum über ℝ; A, B ⊂ E konvex und disjunkt, A offen. Zeigen Sie: Es existiert ein f ∈ E′ und ein α ∈ ℝ mit f(x) > α für alle x ∈ A und f(x) ≤ α für

alle x ∈ B (Folgerung II.7).  2

Aufgabe 4: Sei E ein lokalkonvexer Raum über ℝ, f ein lineares Funktional auf einem Teilraum M und A eine nichtleere offene konvexe Menge mit M ∩ A ∉ ∅, so dass f(x) > 0 für alle x ∈ M ∩ A. Zeigen Sie: Es existiert ein lineares Funktional f_{1} auf E für das gilt:

i) f_{1}(x) = f(x) ∀ x ∈ M,

ii) f_{1}(x) > 0 ∀x ∈ A

(Lemma II.11).

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Aufgabe 5: Sei (F, G) ein Dualsystem und σ(F, G) die schwache Topologie für F. Zeigen Sie: Eine Folge {x_{n}}_{n∈ℕ} ⊂ F konvergiert gegen x im Sinne der schwachen Topologie genau dann, wenn

lim_{n→∞}⟨x_{n}, y⟩ = ⟨x, y⟩ ∀ y ∈ G. 6

Aufgabe 6: Zeigen Sie die Umkehrung von Lemma II.14: Seien T_{1}, T_{2} zwei Topologien für einen Vektorraum E, so dass (E, T_{1}) und (E, T_{2}) topologische Vektorräume sind. Ferner gelte für konvexe Mengen A: A ist genau dann abgeschlossen bezüglich T_{1}, wenn sie es bezüglich T_{2} ist. Dann gilt:

(E, T_{1})′ = (E, T_{2})′. 2

Aufgabe 7: Sei (F, G) ein Dualsystem und T_{1}, T_{2} zwei kompatible Topologien. Zeigen Sie:

a) Ist eine Menge A ⊂ F dicht in (F, T_{1}), so folgt i. A. nicht, dass A dicht in (F, T_{2}) ist.

b) Ist (F, T_{1}) separabel, d. h., es existiert eine abzählbare dichte Teilmenge von F, so ist auch (F, T_{2}) separabel.

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Definition: Sei F ein Vektorraum und M_{i} (1 ≤ i ≤ n) Vektorräume, für die M_{i} ∩ (∑_{j≠i} M_{j}) = {0} gilt. Dann heißt

E := span {x; x ∈ ⋃_{i=1}^{n} M_{i}}

die algebraische direkte Summe der M_{i}.

Bemerkung: Für jedes x∈E existiert dann eine eindeutige Darstellung x=∑_{i=1}^{n} x_{i}, x_{i} ∈ M_{i}, und die Projektion π_{i} : E → M_{i} : ∑_{i=1}^{n} x_{i} ↦ x_{i} ist wohldefiniert und linear.

Definition: Sei T eine Topologie, so dass (E, T ) ein topologischer Vektorraum ist. Falls die Abbildung ψ : ∏_{i=1}^{n} M_{i} → E : (x_{1}, …, x_{n}) ↦ ∑_{i=1}^{n} x_{i} ein Isomorphismus ist (d. h. bijektiv und ψ, ψ^{−1} linear, stetig), so heißt E die (topologische) direkte Summe von {M_{i}; 1 ≤ i ≤ n}. Schreibweise: E = M_{1} ⊕ ⋯ ⊕ M_{n}.

Aufgabe 8: Sei (E, T ) ein topologischer Vektorraum, und {M_{i}; 1 ≤ i ≤ n} derart, dass E die algebraische direkte Summe der M_{i} ist. Zeigen Sie:

a) Die Projektionen π_{i} sind offene Abbildungen, d. h., Bilder offener Mengen sind offen.

b) E ist topologische direkte Summe genau dann, wenn alle Projektionen π_{i} stetig sind.

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Definition: Sei (E, T ) ein topologischer Vektorraum und M ein Vektorraum. Der Quotientenraum ist definiert als E/M := {x + M; x ∈ E}.

Bemerkung: Definiert man die Topologie T̃ auf E/M als die feinste Topologie, für die die Abbildung φ : E → E/M : x ↦ x + M stetig ist, so ist (E/M, T̃) ein topologischer Vektoraum (siehe Schaefer, pp. 14,20). T̃ heißt die Quotiententopologie.

Aufgabe 9: Sei E ein topologischer Vektorraum und M, N Unterräume. Zeigen Sie:

a) E/M ist Hausdorffraum genau dann, wenn M abgeschlossen in E ist.

b) Falls E die algebraische Summe von M und N ist, so gilt:

E = M ⊕ N genau dann, wenn die Abbildung ν : E/M → N : x + M ↦ y, mit y ∈ N und (y − x) ∈ M ein Isomorphismus ist.

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Aufgabe 10:

a) Sei E ein n-dimensionaler Hausdorffraum über dem Körper 𝕂. Zeigen Sie, dass E isomorph zu 𝕂^{n} ist.

b) Geben Sie ein Gegenbeispiel für einen topologischen Vektorraum der Dimension n an, welcher nicht isomorph zu 𝕂^{n} ist.

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Aufgabe 11: Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum und x_{i}, 1 ≤ i ≤ n linear unabhängig in E. Zeigen Sie: Es existieren n Funktionale f_{j} ∈ E′, 1 ≤ j ≤ n für die gilt:

f_{j}(x_{j}) = δ_{ij} = \begin{cases}0, & i ≠ j \\ 1, & i = j \end{cases} ; 1 ≤ i, j ≤ n.

(Hinweis: Man verwende Aufgabe 10)  3