Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 12.12.2000

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

4. Übung „Topologische Vektorräume“

(Abgabe: 9.1.2001 vor der Vorlesung)

Im Folgenden sei D(K) für eine kompakte Teilmenge K ⊂ ℝ^{n} definiert wie in Beispiel 2 zu Satz 4 am Ende von Kapitel 1 der Vorlesung. Es sei D(ℝ^{n}) := ⋃ D(K), wobei die Vereinigung über alle kompakten Teilmengen K des ℝ^{n} zu bilden ist.

Aufgabe 1: Es sei B die Familie aller Teilmengen V ⊂ D(ℝ^{n}) mit den folgenden Eigenschaften:

a) Jedes V ∈ B ist absolut konvex und absorbierend.

b) Für jede kompakte Teilmenge K von ℝ^{n} und jedes V ∈ B ist V ∩ D(K) eine Umgebung in D(K).

Zeigen Sie: Es gibt genau eine Vektorraumtopologie T auf D(ℝ^{n}), für welche B eine Nullumgebungsbasis bildet, und D(ℝ^{n}) versehen mit dieser Topologie ist ein lokal konvexer Raum.

Hinweis: Übung 2, Aufgabe 7.  6

Aufgabe 2: Sei (φ_{ν})_{ν∈ℕ} eine Folge aus D(ℝ^{n}), wobei bis auf weiteres D(ℝ^{n}) mit der lokal konvexen Topologie aus Aufgabe 1 versehen sei. Zeigen Sie:

a) (φ_{ν})_{ν∈ℕ} konvergiert genau dann gegen 0 ∈ D(ℝ^{n}), wenn gilt:

(i) es gibt ein Kompaktum K ⊂ ℝ^{n} so, dass supp φ_{ν} ⊂ K für alle ν ∈ ℕ,

(ii) für alle Multiindizes κ ∈ ℕ_{0}^{n} konvergiert D^{κ}φ_{ν} gleichmäßig gegen 0 auf K.

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b) (φ_{ν})_{ν∈ℕ} konvergiert genau dann gegen φ ∈ D(ℝ^{n}), wenn gilt:

(i) es gibt ein Kompaktum K ⊂ ℝ^{n} so, dass supp φ, supp φ_{ν} ⊂ K für alle ν ∈ ℕ,

(ii) für alle κ ∈ ℕ_{0}^{n} konvergiert D^{κ}φ_{ν} gleichmäßig gegen D^{κ}φ auf K.

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Definition: Ein System H von Halbnormen auf einem Vektorraum E heißt filtrierend, wenn für je zwei Halbnormen p_{1}, p_{2} ∈ H positive Zahlen a_{1}, a_{2} und eine Halbnorm p ∈ H existieren, so dass für alle x ∈ E gilt: a_{i}p_{i}(x) ≤ p(x) für i = 1, 2.

Aufgabe 3: Zeigen Sie:

a) Für jede kompakte Teilmenge K ⊂ ℝ^{n} und jedes m ∈ ℕ_{0} wird durch

p_{K,m}(φ) := max_{|κ|≤m} max_{x∈K} |D^{κ}φ(x)|, φ ∈ C^{∞}(ℝ^{n}),

eine Halbnorm auf C^{∞}(ℝ^{n}) definiert.  1
b) Die Familie H := {p_{K,m}|K ⊂ ℝ^{n} kompakt , m ∈ ℕ_{0}} ist filtrierend und total.  2

c) Sei T_{H} die von der Familie H erzeugte lokal konvexe Topologie auf C^{∞}(ℝ^{n}). Zeigen Sie, daß der lokal konvexe Raum (C^{∞}(ℝ^{n}), T_{H}) metrisierbar ist und geben Sie eine Metrik ρ an, die T_{H} erzeugt. Der Raum (C^{∞}(ℝ^{n}), T_{H}) wird im folgenden

kurz mit E(ℝ^{n}) bezeichnet.  4

d) Eine Folge (φ_{ν})_{ν∈ℕ} aus E(ℝ^{n}) konvergiert genau dann gegen φ ∈ E(ℝ^{n}), wenn für jeden Multiindex κ ∈ ℕ_{0}^{n} die Folge (D^{κ}φ_{ν})_{ν∈ℕ} auf jedem Kompaktum K ⊂ ℝ^{n}

gleichmäßig gegen D^{κ}φ konvergiert.  2

Aufgabe 4: Zeigen Sie:

a) Sei φ ∈ D(ℝ^{n}) und (φ_{ν})_{ν∈ℕ} eine Folge aus D(ℝ^{n}) ⊂ E(ℝ^{n}). Dann impliziert

lim_{ν→∞} φ_{ν} = φ in D(ℝ^{n}) stets lim_{ν→∞} φ_{ν} = φ in E(ℝ^{n}).  4

b) Sei φ ∈ D(ℝ^{n}) und für ν ∈ ℕ

φ_{ν}(x) := \frac{1}{ν} φ(\frac{x}{ν}), x ∈ ℝ^{n}.

Dann gilt (φ_{ν})_{ν∈ℕ} ⊂ D(ℝ^{n}) und lim_{ν→∞} φ_{ν} = 0 in E(ℝ^{n}), aber nicht in D(ℝ^{n}). Insbesondere ist die Topologie von D(ℝ^{n}) nicht gleich der von E(ℝ^{n}) auf D(ℝ^{n})

erzeugten Relativtopologie.  2

Definition: Sei n ∈ ℕ und f : ℝ^{n} → ℂ eine Lebesgue-meßbare Funktion. f heißt lokal integrierbar, falls f über jeder kompakten Teilmenge von ℝ^{n} integrierbar ist. Mit L_{loc}^{1}(ℝ^{n}) wird im Folgenden der lineare Raum der auf ℝ^{n} lokal integrablen Funktionen bezeichnet.

Aufgabe 5: Sei f : ℝ^{n} → ℂ lokal-integrierbar und T_{f} : D(ℝ^{n}) → ℂ definiert durch T_{f}(φ) := ∫_{ℝ^{n}} f(x)φ(x) dx für alle φ ∈ D(ℝ^{n}). Zeigen Sie: T_{f} ∈ (D(ℝ^{n}))′. Bemerkung: die stetigen lineare Funktionale auf D(ℝ^{n}), also die Elemente aus (D(ℝ^{n}))′ werden Distributionen genannt. Eine Distribution T heißt regulär, falls ein f ∈

L_{loc}^{1}(ℝ^{n}) existiert mit T = T_{f}, anderenfalls heißt T singulär.  4

Aufgabe 6: Sei x_{0} ∈ ℝ^{n} und δ : D(ℝ^{n}) → ℂ definiert durch δ(φ) := φ(x_{0}) für alle φ ∈ D(ℝ^{n}). Zeigen Sie, daß δ eine singuläre Distribution ist (sogenanntes Diracsches

Delta-Funktional).  4

Aufgabe 7: Der Raum D(Ω) sei definiert wie in der Vorlesung, Kap. I, Beisp. 5 (Ende Kapitel I), mit dem Konvergenzbegriff „in D(Ω)“.

a) Konstruieren Sie eine Folge von Halbnormen {p_{k}}_{k∈ℕ} auf D(Ω) mit der Eigenschaft:

Eine Folge {f_{n}} konvergiert in D(Ω) genau dann gegen ein f ∈ D(Ω), wenn es zu jedem Paar ε > 0, m ∈ ℕ ein n_{0} = n_{0}(ε, m) gibt, so dass gilt: f_{n} − f ∈ U_{ε,m} ∀n ≥ n_{0}. Dabei ist

U_{ε,m} := {f ∈ D(Ω) ; p_{k}(f) ≤ ε ∀1 ≤ k ≤ m}.

b) Zeigen Sie, daß D(Ω) unter der von den p_{k} erzeugten Topologie ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum ist und dass die U_{ε,m} dort eine Nullumgebungsbasis bilden. (auch zu zeigen: Die p_{k} sind Halbnormen; die Folge {p_{k}} ist total.)

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Aufgabe 8: Zeigen Sie, dass auf L^{p}(0, 1), 0 < p < 1, kein nicht-triviales stetiges lineares Funktional existiert.

Hinweis: H.H.Schaefer, Topological Vector spaces, 1971, S.34.  5

Aufgabe 9: Zeigen Sie, dass in einem topologischen Vektorraum E genau dann nichttriviale stetige lineare Funktionale existieren, wenn es eine konvexe Nullumgebung U ≠ E gibt.

Hinweis: Zeigen Sie für die Rückrichtung, dass Lemma I.14,i) auch unter der Voraussetzung „E ein topologischer Vektorraum“ gültig bleibt, und beweisen Sie folgende Version des Satzes von Hahn-Banach: Sei E ein topologischer Vektorraum, a ∈ E und p eine stetige Halbnorm auf E. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional f ∈ E′ mit

|f(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ E und f(a) = p(a).

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