Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 28.11.2000

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

3. Übung „Topologische Vektorräume“

(Abgabe: 12.12.2000 vor der Vorlesung)

Definition: Eine Abbildung ∥·∥ von einem Vektorraum E in ℝ heißt Quasi-Norm, falls gilt:

Q_{1}) ∥x∥ ≥ 0 und ∥x∥ = 0 ⟺ x = 0 ∀x ∈ E,

Q_{2}) ∥αx∥ = |α| ∥x∥ ∀α ∈ 𝕂, x ∈ E,

Q_{3}) ∃ k ≥ 1 so dass ∥x + y∥ ≤ k(∥x∥ + ∥y∥).

E heißt dann quasi-normiert.

Definition: Eine Teilmenge B eines topologischen Vektorraumes E heißt beschränkt, falls für jede Nullumgebung U ein ϱ > 0 existiert mit B ⊂ ϱ U. Weiter heißt E lokalbeschränkt, falls er eine beschränkte Nullumgebung besitzt.

Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass ein topologischer Vektorraum genau dann quasi-normier-

bar ist, wenn er ein lokalbeschränkter Hausdorffraum ist.  8

Bemerkung: Es gilt folgende Variante für lokalkonvexe Räume: Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann normierbar, wenn er ein lokalbeschränkter Hausdorffraum ist.

Definition: Eine Teilmenge A eines Vektorraumes E heißt p-konvex, 0 < p ≤ 1, falls für bel. x, y ∈ A, λ, μ ≥ 0 mit λ^{p} + μ^{p} = 1 gilt: λx + μy ∈ A.

Definition: Eine Abbildung ||| · ||| von einem Vektorraum E in ℝ heißt eine p-Norm, 0 < p ≤ 1, falls gilt:

P_{1}) |||x||| ≥ 0 und |||x||| = 0 ⟺ x = 0 ∀x ∈ E,

P_{2}) |||αx||| = |α|^{p}|||x||| ∀α ∈ 𝕂, x ∈ E,

P_{3}) |||x + y||| ≤ |||x||| + |||y||| ∀x, y ∈ E.

Aufgabe 2: Sei E ein Hausdorffscher topologischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Topologie des Raumes E genau dann durch eine p-Norm gegeben werden kann, wenn E eine p-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt.

Hinweis: Für die Rückrichtung verwende man Bemerkung 1.  6

Aufgabe 3: Beweisen Sie Lemma I.15: Sei Q eine Familie von Halbnormen auf einem Vektorraum E und T_{Q} die von Q erzeugte Topologie. Folgende Aussagen sind äquivalent:

a) (E, T_{Q}) ist Hausdorffraum,

b) Zu jedem x ∈ E, x ≠ 0 existiert ein p ∈ Q mit p(x) > 0,

c) Q ist total.

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Aufgabe 4: Sei (s) der Raum aller Zahlenfolgen x = {x_{k}}_{k=1}^{∞} und d die Metrik

d(x, y) := ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k}} \frac{|x_{k} − y_{k}|}{1 + |x_{k} − y_{k}|} ∀x, y ∈ (s)

a) Zeigen Sie, dass U := {{x ∈ (s) ; max_{k∈J} |x_{k}| < ε} ; ε > 0, J ⊂ ℕ endlich} eine Nullumgebungsbasis ist.

b) Zeigen Sie mittels Bemerkung 1, dass für (s) keine Norm existiert, die die gleiche Topologie T_{d} erzeugt wie d.

c) Beweisen Sie direkt, dass ((s), T_{d}) nicht normierbar ist.

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Aufgabe 5: (siehe Bem. nach Lemma II.1) Seien E, F lokalkonvexe Räume über 𝕂, deren Topologien durch Familien Q_{E} und Q_{F} von Halbnormen bestimmt sind. Weiter sei f : E → F eine lineare Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) f ist stetig auf E,

b) Zu jeder beliebigen stetigen Halbnorm q auf F existiert eine stetige Halbnorm p

auf E mit

q(f(x)) ≤ p(x) ∀x ∈ E,

c) Zu jeder beliebigen Halbnorm q ∈ Q_{F} existieren ein M > 0 und Halbnormen p_{1}, …, p_{n} ∈ Q_{E} mit

q(f(x)) ≤ M ∑_{k=1}^{n} p_{k}(x) ∀x ∈ E.

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Definition: Sei E ein Vektorraum und Q eine Familie von Halbnormen auf E. Q heißt saturiert, falls für beliebige p_{1}, …, p_{n} ∈ Q auch max_{1≤k≤n} p_{k}(x) eine Halbnorm aus Q ist.

Aufgabe 6:

a) Zeigen Sie, dass sich jede lokalkonvexe Topologie durch eine saturierte Familie von Halbnormen erzeugen läßt.

b) Wie wirkt es sich auf das Stetigkeitskriterium in Aufgabe 5 aus, wenn Q saturiert

ist?

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Aufgabe 7: Sei I eine überabzählbare Menge und S(I) der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen f auf I. Durch die Familie von Halbnormen

{p_{t}(f) := |f(t)|; t ∈ I}

sei eine lokalkonvexe Topologie auf S(I) erzeugt. Zeigen Sie, dass es keine Metrik gibt, die diese Topologie erzeugt.

Hinweis: Benutzen Sie die Nullumgebungsbasis aus Satz I.3.  5