Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 14.11.2000

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

2. Übung „Topologische Vektorräume“

(Abgabe: 28.11.2000 \underline{vor} der Vorlesung)

Aufgabe 1: Geben Sie ein Beispiel an für einen topologischen Vektorraum E und eine

Menge A ⊂ E, die kreisförmig aber nicht Nullumgebung ist.  2

Definition: Sei E ein Vektorraum über einem Körper 𝕂 ∈ {ℂ, ℝ}. Eine Teilmenge A ⊂ E heißt \underline{ausgeglichen}, falls zu jedem x ∈ E ein λ > 0 existiert, so daß x ∈ λA.

Aufgabe 2: Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen

a) A absorbierend ⟹ A ausgeglichen,

b) A ausgeglichen ⟹ A absorbierend.

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Aufgabe 3: Sei E ein topologischer Vektorraum über 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ}; A ⊂ E. Zeigen Sie:

a) Ist A konvex, kreisförmig, absolut konvex oder absorbierend, so besitzt die Ab-

schließung \overline{A} von A jeweils dieselbe Eigenschaft.  5
b) Ist A konvex, so auch ihr Inneres intA.  1

c) Falls zusätzlich 0 ∈ intA, so impliziert die Kreisförmigkeit oder die absolute

Konvexität von A dieselbe Eigenschaft für intA.  2

Aufgabe 4: Sei E ein topologischer Vektorraum und A ⊂ E absorbierend. Beweisen oder widerlegen Sie in diesem Fall

a) 0 ∈ intA.

b) intA ist absorbierend.

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Aufgabe 5: Sei 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ}, C(ℝ, 𝕂) := {f: ℝ → 𝕂; f stetig} und p_{n}(f) := max_{t∈[−n,n]} |f(t)|, n ∈ ℕ. Zeigen Sie: Der Raum C(ℝ, 𝕂) bildet unter der durch die Halbnormen p_{n}(f) induzierten Topologie einen lokalkonvexen, metrisierbaren Hausdorffraum, welcher aber nicht

normierbar ist.  4

Definition: Sei E ≠ ∅ eine beliebige Menge.

a) Eine Mengenfamilie F ⊂ P(E) := \{A; A ⊂ E\} heißt ein \underline{Filter} auf E, falls gilt: F_{1}) F ≠ ∅; ∅ ∉ F, F_{2}) A, B ∈ F ⟹ A ∩ B ∈ F, F_{3}) A ∈ F und B ⊃ A mit B ⊂ E ⟹ B ∈ F.

b) Eine Mengenfamilie B ⊂ P(E) heißt eine \underline{Filterbasis} auf E, falls gilt:

F B_{1}) B ≠ ∅; ∅ ∉ B,

F B_{2}) Falls A, B ∈ B ⟹ ∃ C ⊂ A ∩ B, so dass C ∈ B. Aufgabe 6: Sei E ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 und N eine Filterbasis auf E mit den Eigenschaften NU_{1}) Jedes U ∈ N ist absorbierend. NU_{2}) Jedes U ∈ N ist kreisförmig. NU_{3}) Zu jedem U ∈ N existiert ein V ∈ N mit V + V ⊂ U. Zeigen Sie:

a) Zu jedem n ∈ ℕ und zu jedem U ∈ N existiert ein V ∈ N, so dass ∑_{i=1}^{n} V := V + ∑_{i=1}^{n−1} V ⊂ U.

b) Zu jedem α ∈ 𝕂 und U ∈ N existiert ein V ∈ N, so dass αV ⊂ U.

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Aufgabe 7: Sei E ein Vektorraum und N eine Filterbasis mit den Eigenschaften NU_{1})

– NU_{2}). Zeigen Sie: Dann existiert genau eine Topologie T auf E, so dass (E, T ) ein topologi-

scher Vektorraum und N eine Nullumgebungsbasis ist.  6

Aufgabe 8: Zeigen Sie, dass der topologische Vektorraum

ℓ^{p} := {x = {x_{k}}_{k=1}^{∞} ; x_{k} ∈ 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ}, ∑_{k=1}^{∞} |x_{k}|^{p} < ∞}

für 0 < p < 1 unter der Metrik d(x, y) := ∑_{k=1}^{∞} |x_{k} − y_{k}|^{p} \underline{nicht} lokalkonvex ist.  4

Aufgabe 9: Sei E ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ}. Weiter seien A, B ⊂ E absolut konvexe und absorbierende Teilmengen von E und p_{A}(x) := inf{λ, λ > 0, x ∈ λA} das Minkowski– Funktional von A. Zeigen Sie:

a) Falls α ∈ 𝕂 \ \{0\}, so gilt: p_{αA}(x) = \frac{1}{|α|}p_{A}(x) für alle x ∈ E. b) p_{A∩B}(x) = max{p_{A}(x), p_{B}(x)} für alle x ∈ E.

c) Falls A ⊂ B, so gilt p_{B}(x) ≤ p_{A}(x) für alle x ∈ E.

d) Sei B ⊂ E derart, dass gilt

{x ∈ E; p_{A}(x) < 1} ⊂ B ⊂ {x ∈ E; p_{A}(x) ≤ 1} .

Dann gilt: p_{B}(x) = p_{A}(x) für alle x ∈ E.

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