Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26.10.2000

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

1. Übung „Topologische Vektorräume“

(Abgabe: 13.11.2000 in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei E ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 und A ⊂ E. Zeigen Sie:

a) Im Allgemeinen gilt: 2A ≠ A + A.  1
b) Es ist (λ + μ)A ⊂ λA + μA für beliebige λ, μ ∈ 𝕂.  1

2

Aufgabe 2: Sei E ein Vektorraum über 𝕂 und A ⊂ E. Beweisen Sie:

a) A ist genau dann konvex, wenn für bel. x, y ∈ A und λ, μ ∈ 𝕂 mit λ, μ ≥ 0 und

λ + μ = 1 gilt: λx + μy ∈ A.  1

b) (La. I.1) A ist genau dann absolut konvex, wenn für bel. x, y ∈ A und λ, μ ∈ 𝕂

mit |λ| + |μ| ≤ 1 gilt: λx + μy ∈ A. 3 4

Aufgabe 3: Beweisen Sie, dass beliebige Durchschnitte und Vereinigungen kreisför-

miger Mengen wieder kreisförmig sind.  2

Aufgabe 4: Beweisen Sie La. I.3: Sei E ein Vektorraum über 𝕂 und A ⊂ E, dann gilt:

a) Für die konvexe Hülle conv(A) gilt:

conv(A) = {∑_{i=1}^{n} λ_{i}x_{i}; λ_{i} ∈ 𝕂, λ_{i} ≥ 0, ∑_{i=1}^{n} λ_{i} = 1, x_{i} ∈ A für 1 ≤ i ≤ n, n ∈ ℕ} ,  4

b) conv(A) ist konvex.  1

c) Für die absolut konvexe Hülle Γ(A) gilt:

Γ(A) = {∑_{i=1}^{n} λ_{i}x_{i}; λ_{i} ∈ 𝕂, ∑_{i=1}^{n} |λ_{i}| ≤ 1, x_{i} ∈ A für 1 ≤ i ≤ n, n ∈ ℕ} ,  1

d) Γ(A) ist absolut konvex.  1

e) Definiert man die \underline{kreisförmige Hülle} von A als die Menge \{λx; x ∈ A, λ ∈ 𝕂, |λ| ≤ 1}, so gilt: Γ(A) ist die konvexe Hülle der kreisförmigen Hülle von A, jedoch

braucht die kreisförmige Hülle der konvexen Hülle von A nicht konvex zu sein.  4
f) Ist A kreisförmig, so gilt: Γ(A) = conv(A).  1
g) Wenn A, B ⊂ E absolut konvex sind, dann auch A + B und λA für bel. λ ∈ 𝕂.  2

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Aufgabe 5:

a) Zeigen Sie, daß Obermengen, endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen

absorbierender Mengen wieder absorbierend sind.  3

b) Sind beliebige Durchschnitte von absorbierenden Mengen auch absorbierend?

(Beweis oder Gegenbeispiel) 2 5

Aufgabe 6: Sei E ein Vektorraum über 𝕂 und A ⊂ E nicht-leer und kreisförmig. Zeigen Sie:

a) A enthält das Nullelement und ist symmetrisch, d.h. mit x ∈ A gilt auch

−x ∈ A.  1
b) Sind λ, μ ∈ 𝕂 mit |λ| ≤ |μ|, so gilt: λA ⊂ μA.  1
c) Wenn zu jedem x ∈ E ein λ ≠ 0 mit x ∈ λA existiert, dann ist A absorbierend.  1

3

Aufgabe 7: Beweisen Sie La. I.4: Sei A eine absolut konvexe Teilmenge eines Vektorraumes E. Folgende Aussagen sind äquivalent:

a) A ist absorbierend,

b) A spannt E auf,

c) E = ⋃_{λ>0} λA,

d) E = ⋃_{n∈ℕ}nA,  3

Aufgabe 8: Beweisen Sie:

a) Wenn d eine Metrik auf E und d^{∗} durch

d^{∗}(x, y) := inf{d(x, y), 1} (x, y ∈ E)

definiert ist, dann ist d^{∗} eine zu d äquivalente Metrik auf E. 3 b) Wenn d_{1} und d_{2} Metriken auf E sind und Konstanten m, M > 0 existieren, so

dass

md_{1}(x, y) ≤ d_{2}(x, y) ≤ Md_{1}(x, y) (x, y ∈ E),

dann sind d_{1} und d_{2} äquivalent. Die Umkehrung gilt i. allg. nicht. 4 7

Aufgabe 9: Seien d_{1} und d_{2} Metriken auf einer Menge E. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) d_{1} und d_{2} sind äquivalent.

b) Für jede Folge {x_{n}}_{n∈ℕ} aus E und x ∈ E gilt:

lim_{n→∞} d_{1}(x_{n}, x) = 0 ⟺ lim_{n→∞} d_{2}(x_{n}, x) = 0.

4

\underline{Hinweise zum Übungsbetrieb:} Die Übungen können in Gruppen bis zu 3 Personen bearbeitet werden. Zum Erwerb eine Übungsscheins müssen 50% der Gesamtpunktzahl erreicht werden.