Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 16. Februar 2001 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

16. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, den 20.04.2001, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (5 Punkte) Die Funktionen f, g : ℝ^{3} → ℝ seien definiert durch

f((x, y, z)^{tr}) := x^{2} + xy − y − z, g((x, y, z)^{tr}) := 2x^{2} + 3xy − 2y − 3z.

Man zeige, dass

M := {(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; f((x, y, z)^{tr}) = g((x, y, z)^{tr}) = 0}

eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3} ist und dass

φ : ℝ → ℝ^{3}, φ(t) := (t, t^{2}, t^{3})^{tr}

eine (globale) Parameterdarstellung von M ist.

Aufgabe 2 (5 Punkte) Die Funktionen f_{i} : ℝ^{4} → ℝ, i = 1, 2, 3, seien definiert durch

f_{1}((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{tr}) := x_{1}x_{3} − x_{2}^{2},
f_{2}((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{tr}) := x_{2}x_{4} − x_{3}^{2},
f_{3}((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{tr}) := x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3}.

Man zeige, dass

M := {x ∈ ℝ^{4}\{0}; f_{1}(x) = f_{2}(x) = f_{3}(x) = 0}

eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{4} ist.

Aufgabe 3 (2+3 Punkte) Man berechne Maßtensoren und Gramsche Determinanten zu den folgenden Karten.

a) φ : (0; ∞) → V ⊂ M ⊂ ℝ^{2} mit φ(t) = (t, e^{t})^{tr}, M := {(x, y)^{tr} ∈ ℝ^{2}; e^{x} − y = 0}.

b) φ : ℝ × (0; π/2) → V ⊂ M ⊂ ℝ^{3} mit φ(t_{1}, t_{2}) = (t_{1}, sin t_{2}, 2t_{1} sin t_{2})^{tr}, M := {(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; 2xy − z = 0}.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Gegeben sei die Karte

φ : (r; R) × (0; H) → ℝ^{3}, 0 < r < R < ∞, H > 0,

durch

φ(t_{1}, t_{2}) = (t_{1} cos t_{2}, t_{1} sin t_{2}, ht_{2})^{tr}, h > 0.

Man berechne die Fläche der 2–dimensionalen Wendelfläche, die durch diese Karte beschrieben wird.

Aufgabe 5 (3 Punkte) Es sei A die bzgl. der Polarkoordinaten (t_{1}, t_{2}) auf der Einheitssphäre S_{2} ⊂ ℝ^{3} ( vgl. Beispiel (2.4) für die genauen Definitionen der Polarkoordinaten und der Menge S_{2}) durch die Ungleichungen

φ_{1} ≤ t_{1} ≤ φ_{2}, θ_{1} ≤ t_{2} ≤ θ_{2}

gegebene Teilmenge (0 ≤ φ_{1} < φ_{2} ≤ 2π, 0 ≤ θ_{1} < θ_{2} ≤ π). Man berechne ihre Fläche.

Aufgabe 6 (5 Punkte) Man berechne die Fläche des Rotationsellipsoids

M := \{(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{a})^{2} + (\frac{z}{b} )^{2} = 1\} , a, b > 0.

Aufgabe 7 (5 Punkte) Sei M eine k–dimensionale Untermannigfaltigkeit und A ⊂ M eine integrierbare Teilmenge. Sei

F : ℝ^{n} → ℝ^{n}, F (x) := T x + q

eine Bewegung (q ∈ ℝ^{n} und T ∈ O(n) eine orthogonale Matrix). Man zeige, dass F (A) eine integrierbare Teilmenge der Untermannigfaltigkeit F (M) ⊂ ℝ^{n} ist mit

vol_{k}(F (A)) = vol_{k}(A).

Organisatorisches: Diese Übung wird in der ersten Übungsstunde des nächsten Semesters vorgerechnet. Hier sind zur Erinnerung die Klausurtermine für die vorlesungsfreie Zeit

2. Klausur Analysis III Mittwoch, 28.02.2001, 14.00 Uhr Hörsaal EpH
Vordiplom Analysis I/II Dienstag, 06.03.2001, 09.00 Uhr Hörsaal Fo4
3. Klausur Analysis III Mittwoch, 11.04.2001, 10.00 Uhr Hörsaal II

und weitere wichtige Termine:

Fragestunde zu Analysis I/II  Donnerstag, 01.03.2001, 10.00 Uhr Hörsaal III
Rückgabe 2. Klausur Analysis III Montag, 05.03.2001, 11.00 Uhr HG 248
Rückgabe Analysis I/II  Mittwoch, 07.03.2001, 11.00 Uhr HG 248
Fragestunde zu Analysis III  Mittwoch, 04.04.2001, 10.00 Uhr Hörsaal III
Rückgabe 3. Klausur Analysis III Mittwoch, 17.04.2001, 11.00 Uhr HG 248

Für weitere Informationen und mögliche Änderungen schauen Sie bitte in den Schaukasten des Lehrstuhl A.

Euer Analysis-Team wünscht Euch eine schöne vorlesungsfreie Zeit und viel Erfolg bei Euren Klausuren.