Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 02. Februar 2001 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

15. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, den 09.02.2001, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (2+2 Punkte)

Gegeben sei eine lineare Abbildung S : ℝ^{n} → ℝ^{n} in Form einer positiv definiten n × n–Matrix.

(i) Man zeige für γ > 0:

vol{x ∈ ℝ^{n}|x^{t}Sx ≤ γ^{2}} = vol{x ∈ ℝ^{n}|λ_{1}x_{1}^{2} + … + λ_{n}x_{n}^{2} ≤ γ^{2}},

falls λ_{1}, …, λ_{n} die Eigenwerte von S sind.

(ii) Man berechne vol{x ∈ ℝ^{n}|x^{t}Sx ≤ γ^{2}} .

Bemerkung: Man nennt diese Menge einen Ellipsoiden

Aufgabe 2 (3 Punkte)

Berechnen Sie mittels der Transformationsformel und des Diffeomorphismus Φ der Polarkoordinaten das folgende Integral:

∫_{K} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dλ^{\}_{2},

wo K = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4}. Beachten Sie hierbei den Bildbereich von Φ!

Aufgabe 3 (3+3+2+2+3+3 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale:

a) ∫_{M} \sqrt{1 − (\frac{x}{a})^{2} − (\frac{y}{b} )^{2} − (\frac{z}{c} )^{2}} dλ^{\}_{3},

M = \{(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}; (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} + (\frac{z}{c} )^{2} ≤ 1\}, a, b, c > 0.

b) ∫_{M} x^{2}y dλ^{\}_{3}, M = {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}; x^{2} + y^{2} ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.

c) ∫_{M} |x|(1 − x^{2} − (y − 1)^{2}) dλ^{\}_{2},

M = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; y ≥ x + 1, x^{2} + (y − 1)^{2} ≤ 1}.

d) ∫_{M} |x| dλ^{\}_{3}, M = {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}; x^{2} + y^{2} + z ≤ 2y, y ≥ x + 1, z ≥ 0}.

e) ∫_{M} x_{3}x_{4}^{3} dλ^{\}_{4}, M = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{t} ∈ ℝ^{4}; 0 ≤ x_{4} ≤ \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} ≤ 1\}.

f) ∫_{M} 1 dλ^{\}_{3},

M = {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}; 0 ≤ x + y ≤ 4 − (x − y)^{2}, x^{2} + y^{2} ≤ z ≤ 2(1 + x + y)}.

Definition: Sei M ⊂ ℝ^{2}, M ∈ B. Man nennt

ν(M) = ∫_{M} y^{−2}dλ^{\}_{2}

die hyperbolische Fläche von M.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Man berechne die hyperbolische Fläche der Menge

F := \{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; −\frac{1}{2} < x ≤ \frac{1}{2}, x^{2} + y^{2} ≥ 1 und x^{2} + y^{2} > 1 für − \frac{1}{2} < x ≤ 0\}

und zeichne F.

Bemerkung: Die obengenannte Menge ist ein sogenannter exakter Fundamentalbereich für die Operation der Gruppe SL(2, ℤ) auf der oberen Halbebene (in ℂ), d.h. es existiert genau ein Vertreter aus jeder Bahn dieser Operation in F, aufgefasst als Teilmenge von ℂ. Sie spielt eine große Rolle in der Theorie der elliptischen Modulformen. Sei τ = x + iy, y > 0 und M ∈ SL(2, ℝ). Dann ist die Operation auf τ folgendermaßen definiert:

M < τ >:= \frac{aτ + b}{cτ + d}.

Es gilt ν(M < F >) = ν(F) für alle M ∈ SL(2, ℝ).