Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26. Januar 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

14. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, den 02.02.2001, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 ((3+6)+4 Punkte) Seien f : [a; b] → ℝ eine nicht-negative stetige Funktion und

F := {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; 0 ≤ y ≤ f(x), wobei x ∈ [a; b]}.

Dann ist F messbar nach XIII (3.14). Durch eine Rotation um die x-Achse entsteht aus F der Drehkörper

D := \{(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}; (x, \sqrt{y^{2} + z^{2}})^{t} ∈ F \} ⊂ ℝ^{3}.

Nach Beispiel XIV (4.4) ist D messbar und es gilt

λ^{\}_{3}(D) = π ∫_{a}^{b} f^{2}(x) dx.

(i) Man berechne die Volumina der beiden Drehkörper, die durch Drehung der Menge

F = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; 0 ≤ x ≤ 6π, 0 ≤ y ≤ 2 + cos x}

um die x-Achse bzw. um die y-Achse entsteht. Man skizziere die Drehkörper.

(ii) Man berechne das Volumen des Torus mit den Radien r und R mit r ≤ R, also des Körpers, der durch eine Drehung der Menge

F = \{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; \sqrt{x^{2} + (y − R)^{2}} ≤ r\}

um die x-Achse entsteht. Skizze?

Aufgabe 2 (4+3 Punkte) Sei f : M × D → ℝ mit M := [0; 1], D := (−1; 1), definiert durch

f(x, t) = \{ \begin{matrix}0 , & x = 0 \\ \frac{1}{\sqrt{x}+|t|} , & 0 < x ≤ 1 \end{matrix} , −1 < t < 1.

(i) Zeigen Sie, dass

F (t) = ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x} + |t|}, −1 < t < 1,

stetig ist ohne b) zu verwenden.

(ii) Man berechne F (t) für −1 < t < 1 und zeige so die Stetigkeit.

Aufgabe 3 (5 Punkte) Man berechne das Volumen des Durchschnitts der beiden Kreiszylinder, die durch x^{2} + y^{2} ≤ 1 bzw. y^{2} + z^{2} ≤ 1 beschrieben werden, mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips.

Aufgabe 4 (5 Punkte) (ehemalige Klausuraufgabe) Sei f : [a, b] → (0, ∞) stetig. Dann gilt

(∫_{[a;b]} f dλ^{\} ) (∫_{[a;b]} \frac{1}{f} dλ^{\} ) ≥ (b − a)^{2}.

Hinweis: Verwenden Sie geschickt die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischen Mittel.

Zusatzaufgabe (5* Punkte) Berechnen Sie mit dem Cavalierischen Prinzip:

a) den Flächeninhalt einer Ellipse \{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} ≤ 1\}.

b) das Volumen eines Ellipsoiden \{(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}; (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} + (\frac{z}{c})^{2} ≤ 1\}.