Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 19. Januar 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

13. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, den 26.01.2001, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (1+2+4 Punkte) Sei M ∈ B, f : M → ℝ. Man beweise oder widerlege:

a) Ist f Lebesgue-integrierbar, so auch |f|.

b) Ist |f| Lebesgue-integrierbar, so auch f.

c) Sei M = ⋃_{j=0}^{∞} A_{j}, A_{j} ∈ B, A_{i} ∩ A_{j} = ∅ für i ≠ j. Wenn f|_{A_{j}} Lebesgue-integrierbar ist und

∑_{j=0}^{∞} ∫_{A_{j}} f dλ^{\} absolut konvergiert, so ist f Lebesgue-integrierbar mit

∫_{M} f dλ^{\} = ∑_{j=0}^{∞} ∫_{A_{j}} f dλ^{\} .

Aufgabe 2 (4 Punkte) Man gebe ein Beispiel für eine Folge (f_{k})_{k≥1} Lebesgue- integrierbarer Funktionen an, die dem Maße nach gegen die Nullfunktion streben, die aber keine Lebesgue- integrierbare Majorante

besitzen. Die Zahlenfolge (∫_{M} f_{k} dλ^{\})_{k≥1} kann divergent sein.

Aufgabe 3 (3+2+2 Punkte) Gegeben sei die Funktionenfolge (f_{k})_{k∈ℕ} mit f_{k} : [−1; 1] → ℝ durch

f_{k}(x) = \{ \begin{matrix}1  , & x = −1, x = 1 \\ \frac{1}{k}(1 − |x|)^{k} , & x ∈ (−1; 1) \end{matrix} ,  k ∈ ℕ.

a) Man zeige mittels des Satzes über die majorisierte Konvergenz:

lim_{k→∞} ∫_{[−1;1]} f_{k} dλ^{\} = 0.

b) Überprüfen Sie das Ergebnis aus a) durch explizite Berechnung von ∫_{[−1;1]} f_{k} dλ^{\}!

c) Kann zur Begründung der Aussage in a) auch der Satz über die monotone Konvergenz verwendet werden?

Aufgabe 4 (7 Punkte) Man berechne das Lebesgue-Integral der folgenden Funktion mit Hilfe der Definiton (XIV (1.6)), falls es existiert: Sei M = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; 0 < x^{2} + y^{2} ≤ 1} und f : M → ℝ erklärt durch

f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} .

Hinweise (nicht zu beweisen):

a) Das Volumen eines Kreises im ℝ^{2} ist gleich dem Produkt von π und dem Radius zum Quadrat. b)

\frac{1}{k + 1} < ∑_{j=k}^{∞} \frac{1}{(j + 1)^{2}} < \frac{1}{k}.

Aufgabe 5 (5 Punkte) Man bestimme, ob die folgende numerische Funktion quasi-integrierbar ist und berechne gegebenenfalls den Wert des Integrals: f : [0; 1] → ℝ mit

f(x) = \begin{cases}\frac{(−1)^{k}}{x} & x ∈ [\frac{1}{k+1}; \frac{1}{k}) \ ℚ, k ∈ ℕ, \\ ∞ & ℚ ∩ [0; 1] \end{cases}