Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 22. Dezember 2000 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

12. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, den 19.01.2001, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (4 Punkte) Die Funktionenfolge (f_{k})_{k≥1}, f_{k} : ℝ → ℝ, sei gegeben durch

f_{k}(x) = χ_{[k;k+1]}(x) .

Zeigen Sie, dass (f_{k})_{k} punktweise auf ℝ konvergiert und dass für 0 < η < 1 gilt

lim_{k→∞} λ^{\} ({x ∈ ℝ||f_{k}(x)| ≥ η}) = 1.

Warum ist dies kein Widerspruch zu Übung 11, Aufgabe 2?

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei F eine nichtleere abgeschlossene Menge reeller Zahlen und f : F → ℝ eine stetige Funktion. Dann existiert eine stetige Funktion g : ℝ → ℝ, für die g(x) = f(x) für alle x ∈ F gilt. \underline{Hinweis:} Man definiere g(x) auf den Intervallen, aus denen F^{C} zusammengesetzt ist, geeignet.

Aufgabe 3 (5 Punkte) (Vorstufe zum Satz von Lusin) Sei f : [a; b] → ℝ eine messbare Funktion mit der Darstellung

f(x) = ∑_{k=1}^{m} f_{k} χ_{A_{k}}(x) (x ∈ [a; b])

mit ⋃_{k=1}^{m} A_{k} = [a; b] und paarweise disjunkten Mengen A_{k} ∈ B. Man zeige, dass dann für jedes

ε > 0 eine stetige Funktion g : [a; b] → ℝ existiert mit

λ^{\} ({x ∈ [a; b]; f(x) ≠ g(x)}) < ε.

\underline{Hinweis:} Man benutze Aufgabe 2.

Aufgabe 4 (7 Punkte) (Satz von Lusin) Sei f : [a; b] → ℝ eine (beliebige) messbare Funktion. Dann existiert für jedes ε > 0 eine stetige Funktion g : [a; b] → ℝ mit der Eigenschaft, dass

λ^{\} ({x ∈ [a; b]; f(x) ≠ g(x)}) < ε .

\underline{Hinweis:} Man benutze Aufgabe 3, den Satz von Egoroff und schließlich wieder die Aufgabe 2.

Aufgabe 5 (4+4 Punkte) Man berechne das Lebesgue-Integral der folgenden Funktionen mit Hilfe der Definition (XIV (1.6)), falls es existiert: a)

f : ℝ^{n} → ℝ, f(x) = x_{1}χ_{[0;1]^{n}}(x),

b)

g : ℝ → ℝ, g(x) = x^{−1}χ_{(0;∞)}(x).