Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 22. Dezember 2000 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

11. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, den 12.01.2001, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (8 Punkte) (Satz von Egoroff) Sei M eine messbare Menge mit endlichem Maß und sei (f_{k})_{k} eine Folge von messbaren Funktionen auf M, die punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine messbare Menge E ⊂ M, so dass λ^{\} (E) < ε und

f_{k}|_{M\E} ⟶_{glm} f|_{M\E}.

Hinweis: Man betrachte M_{ij} = ⋂_{k=j}^{∞} \{x ∈ M; |f_{k}(x) − f(x)| < \frac{1}{i}\} und schreibe M\E mit geeigneten M_{ij}.

Definition: (Maßkonvergenz) Seien f_{k}, k ≥ 1 und M ⊂ ℝ^{n} Lebesgue-messbar. Die Folge (f_{k})_{k≥1} heisst maßkonvergent gegen f, wenn für jedes η > 0 gilt

lim_{k→∞} λ^{\} ({x ∈ M| |f_{k}(x) − f(x)| ≥ η}) = 0.

Man schreibt: f_{k} ⟶_{λ \} f.

Aufgabe 2 (3+3+3 Punkte) Sei M messbar mit endlichem Maß.

a) Jede punktweise konvergente Folge Lebesgue-messbarer Funktionen auf M ist auch maßkonvergent.

b) Gilt die Umkehrung von a)?

c) Ist f_{k} ⟶_{f.ü.} f, f_{k} ∈ L(M), so ist (f_{k})_{k≥1} auch maßkonvergent gegen f.

Aufgabe 3 (5 Punkte) (Satz von Riesz) Ist die Folge (f_{k})_{k≥1}, f_{k} ∈ L(M), M ∈ 𝔐, λ^{\} (M) < ∞ maßkonvergent gegen f : M → ℝ, so existiert eine Lebesgue-Nullmenge N und eine Teilfolge (f_{k_{j}})_{j≥1}, die auf M\N punktweise gegen f konvergiert.

Aufgabe 4 (3 Punkte) Seien f_{k}, f : M → ℝ, M ∈ 𝔐, λ^{\} (M) < ∞ f_{k} messbar und maßkonvergent gegen f. Dann ist f Lebesgue-messbar.

Aufgabe 5 (5 Punkte) Seien f_{k}, f, g : M → ℝ,,M ∈ 𝔐, λ^{\} (M) < ∞ f_{k}, f messbar und (f_{k})_{k} maßkonvergent gegen f. Dann gilt:

(f_{k})_{k≥1} ist genau dann maßkonvergent gegen g, wenn f = g f.ü..

Wir wünschen Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins Neue Jahr.