Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 15. Dezember 2000 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

10. Übung zur Analysis III

Abgabe: Montag, den 08.01.2001, 10.00 Uhr

Aufgabe 1 (5 Punkte) Man berechne das Lebesguesche Maß der (kompakten) zweidimensionalen Cantorschen Menge. Dabei entsteht die Cantorsche Menge aus dem Einheitsquadrat

Q := \{\binom{x}{y} : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1\} ,

indem man das offene Quadrat (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) × (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) entfernt. Mit den verbleibenden, angrenzenden 8 ( 8^{2}, 8^{3}, ...) Quadraten der Kantenlänge \frac{1}{9} ( \frac{1}{9^{2}} , \frac{1}{9^{3}} , ...) verfährt man entsprechend.

Aufgabe 2 (3 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle f ∈ L(M) und für alle c ∈ ℝ gilt

{x ∈ M|f(x) = c} ∈ 𝔐.

Beweisen Sie mittels eines Gegenbeispiels, dass die umgekehrte Richtung nicht gilt.

Aufgabe 3 (8 Punkte) Seien A, B ⊂ ℝ messbare Mengen mit endlichem Maß. Zeigen Sie, dass A × B messbar in ℝ^{2} ist mit λ_{2}(A × B) = λ_{1}(A) · λ_{1}(B).

Aufgabe 4 (4+5 Punkte) Sei D_{0} das Innere des durch die folgenden Funktionsgraphen eingeschlossenen Gebietes des ℝ^{2}:

f_{1} : ℝ^{−} → ℝ,  y ↦ 1 − \sqrt{−x},
f_{2} : ℝ^{+} → ℝ,  y ↦ 1 − \sqrt{x},
f_{3} : [−2; 2] → ℝ, y ↦ \sqrt{3} − \sqrt{4 − x^{2}}.

Weiter sei D_{n} = (\frac{2}{3})^{n} D_{0} + d_{n} mit d_{n} = \frac{7}{12} + \frac{2}{3}d_{n−1}, d_{0} = 0.

a) Zeichnen Sie die Menge D := ⋃_{n=0}^{∞} D_{n} mit einem Computerprogramm (z.B. Maple). Dabei dürfen sie bei geeignet großem n abbrechen.

b) Zeigen Sie, dass D messbar ist und berechnen Sie die Fläche von D. c*) Vervollständigen Sie das Bild mit Hilfe eines Quaders Q. Was ist zu sehen?