Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 08. Dezember 2000 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

9. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, 15.12.2000, 10.00 Uhr

Aufgabe 1 (7 Punkte) Man berechne das Lebesguesche Maß des offenen Dreiecks

D := \{\binom{x}{y}; 0 < y < x, x < a\} ,

a > 0 konstant mit Hilfe von Korollar (3.12).

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei X eine nicht-leere Menge. Gegeben sei ein nicht-leeres Mengensystem 𝔐 ⊂ P(X) mit den folgenden Eigenschaften:

(i) M_{1}, M_{2} ∈ 𝔐 ⇒ M_{1} ∪ M_{2} ∈ 𝔐,

(ii) M_{1}, M_{2} ∈ 𝔐 ⇒ M_{1}\M_{2} ∈ 𝔐.

Zeigen Sie, dass 𝔐 ein Unterring von (P(X), Δ, ∩) ist!

Aufgabe 3 (4 Punkte) Es seien M_{1}, M_{2} ⊂ ℝ^{n} und es gebe disjunkte offene Mengen U_{1} ⊃ M_{1}, U_{2} ⊃ M_{2}. Zeigen Sie, dass für das äußere Lebesguesche Maß gilt:

λ^{∗}(M_{1} ∪ M_{2}) = λ^{∗}(M_{1}) + λ^{∗}(M_{2}).

Aufgabe 4 (6 Punkte) Sei M ⊂ ℝ^{n} Lebesgue-messbar. Zeigen Sie: Es existieren zwei messbare Mengen A, B ⊂ ℝ^{n} mit

A ist abzählbare Vereinigung kompakter Mengen, B ist abzählbare Vereinigung offener Mengen, A ⊂ M ⊂ B ,

λ(A) = λ(M) = λ(B).

Aufgabe 5: (4 Punkte) Man zeige mit Hilfe von λ^{∗}(M) = inf{λ(U); M ⊂ U ⊂ ℝ^{n}, U offen}, dass ℚ eine Nullmenge ist.