Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 01. Dezember 2000 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

8. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, 08.12.2000, 10.00 Uhr

Aufgabe 1 (1+1+1+1+1 Punkte) Sei X eine nicht-leere Menge. Für A ⊂ X definiert man die Indikatorfunktion χ_{A} zu A durch

χ_{A} : X → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}1 ; & falls x ∈ A \\ 0 ; & falls x ∉ A \end{matrix} .

Zeigen Sie für A, B ⊂ X:

a) χ_{A∩B} = χ_{A} · χ_{B}.

b) χ_{A∪B} = χ_{A} + χ_{B} − χ_{A∩B}.

c) χ_{A\B} = χ_{A} − χ_{A∩B}.

d) χ_{AΔB} = χ_{A} + χ_{B} − 2χ_{A∩B}.

e) A ⊂ B ⟺ χ_{A} ≤ χ_{B}, d.h. χ_{A}(x) ≤ χ_{B}(x) für alle x ∈ X.

Aufgabe 2 (5 Punkte) Man zeige, dass der Durchschnitt zweier kompakter Quader im ℝ^{n} wieder ein kompakter Quader ist und dass die Vereinigung zweier kompakter Quader als endliche Vereinigung kompakter Quader dargestellt werden kann, die paarweise keine inneren Punkte gemeinsam haben.

Aufgabe 3 (5 Punkte) Sei X eine nicht–leere Menge. Dann ist (laut Linerarer Algebra)

Abb(X; ℤ/2ℤ) := {f : X → ℤ/2ℤ Abbildung}

bei punktweiser Addition und Multiplikation ein Ring. Zeigen Sie, daß dann auch (P(X), Δ, ∩) ein Ring ist, der zu (Abb(X, ℤ/2ℤ), +, ·) isomorph ist. Wie sehen Null– und Einselement aus? Welche Teilmengen besitzen ein Inverses? \underline{Hinweis:} Vermeiden Sie das explizite Nachrechnen der Ringaxiome.

Aufgabe 4 (2+4+(1+2+1+1*)+2+5* Punkte) Sei 𝔐_{R} := {A ⊂ ℝ; l(A) := ∫_{∞}^{∞} χ_{A}(x) dx existiert} das System der Riemann–messbaren Teilmengen von ℝ. Man nennt l(A) die Länge von A. Zeigen Sie:

a) 𝔐_{R} ist ein Unterring von (P(ℝ), Δ, ∩).

b) Sei A ⊂ ℝ abzählbar. Es gilt:

A besitzt keinen Häufungspunkt ⟹ A ∈ 𝔐_{R}.

In diesem Fall gilt l(A) = 0. Gilt die Umkehrung?

c) l ist additiv, translationsinvariant und normiert auf 𝔐_{R}, d.h.

(i) A, B ∈ 𝔐_{R}, A ∩ B = ∅ ⟹ A ∪ B ∈ 𝔐_{R} und l(A ∪ B) = l(A) + l(B).

(ii) A ∈ 𝔐_{R}, q ∈ ℝ ⟹ q + a ∈ 𝔐_{R} und l(q + A) = l(A).

(iii) l([0; 1]) = 1.

(iii)’ Allgemeiner gilt für alle a, b ∈ ℝ, a ≤ b

l([a; b]) = l([a; b)) = l((a; b]) = l((a; b)) = b − a.

d) 𝔐_{R} ist nicht abgeschlossen gegenüber abzählbarer Vereinigung.

e)* Seien A_{j}, j ≥ 1 paarweise disjunkte Mengen in ℝ mit A_{j} ∈ 𝔐_{R} und A := ⋃_{j=1}^{∞} A_{j} ∈ 𝔐_{R}. Man zeige, dass dann sogar (beachte Teil c) (i)) gilt

∑_{j=1}^{∞} l(A_{j}) = l(A).

\underline{Hinweis:} Die Sätze der Vorlesung über die Vertauschung von Summation und Integration sind nicht anwendbar. Benutze stattdessen den folgenden Satz: (Arzela, Osgood, Lebesque) Sei f_{n} ∈ R[a; b], n ∈ ℕ, [a; b] ein endliches Intervall. f_{n} konvergiere gegen f auf [a; b] punktweise mit f ∈ R[a; b] und (f_{n})_{n} sei gleichgradig beschränkt auf [a; b]. Dann gilt:

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Dabei sei R[a; b] die Menge der über [a; b] Riemann-integrierbaren Funktionen. Einen Beweis für diesen Satz findet man z.B. bei Apostol: Mathematical Analysis. Einen vergleichbaren Satz findet man auch bei Barner-Flohr: Analysis I.

Aufgabe 5: (5 Punkte) Ein Würfel W = ⨂_{i=1}^{n} I_{i} der Dimension n ist ein beschränkter Quader, für den die Länge der Intervalle I_{i} konstant ist. Ist für A ⊂ ℝ^{n} das äußere Würfelmaß definiert als

μ^{∗}(A) = inf {∑_{j=1}^{∞} λ(W_{j}) | W_{j} Würfel, A ⊂ ⋃_{j=1}^{∞} W_{j}} ,

so zeige man:

λ^{∗}(A) = μ^{∗}(A) für alle A ⊂ ℝ^{n}.