Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 17. November 2000 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

6. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, 24.11.2000, 10.00 Uhr

Aufgabe 1 (3 Punkte): Sei 𝕂 = ℝ, ℂ, I ⊂ ℝ ein Intervall, A : I → Mat(n × n; 𝕂) und b : I → 𝕂^{n} stetige Abbildungen. Ist Φ(x) = (φ_{1}(x), …, φ_{n}(x)) ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen DGL y′ = A(x) · y, so erhält man alle Lösungen Ψ(x) von y′ = A(x)y + b(x) durch (c ∈ 𝕂^{n}, x, x_{0} ∈ I)

Ψ(x) = Φ(x) · c + ∑_{j=1}^{n} φ_{j}(x) ∫_{x_{0}}^{x} \frac{W_{j}(u)}{W (u)} du,

wobei W (u) := det(φ_{1}(u), …, φ_{n}(u)) und W_{j}(u) := det(φ_{1}(u), …, φ_{j−1}(u), b(u), φ_{j+1}(u), …, φ_{n}(u)) sind.

Aufgabe 2 (5+3 Punkte):

(i) Man berechne e^{xA}, x ∈ ℝ, mit

A = ( \begin{matrix}−7 & 1 \\ 3 & −5 \end{matrix} ) , A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

(ii) Man löse

y′_{1} = y_{3} + 2e^{x}
y′_{2} = y_{2} + e^{−x}
y′_{3} = y_{1} − 2e^{x}.

Dazu verschaffe man sich über den Exponentialansatz eine Fundamentalmatrix des homogenen Systems.

Aufgabe 3 (4 Punkte): Mit Aufgabe 3 Übung 5 löse man das folgende Anfangswertproblem:

y′′ + y′ + y = cos x, y(0) = 0, y′(0) = 1.

Aufgabe 4 (4+3 Punkte):

(i) Ist λ ein Eigenwert der reellen, konstanten n × n–Matrix A und v ein Hauptvektor (k-ter

Stufe) von A zu λ (k ∈ ℕ), also

(A − λE)^{k}v = 0

mit v ≠ 0 und (A − λE)^{k−1}v ≠ 0, dann ist

φ(x) = e^{λx} ∑_{j=0}^{k−1} \frac{(A − λE)^{j}v}{j!} x^{j}

eine nichttriviale Lösung von y′ = A · y.

(ii) Ist A eine beliebige, reelle, konstante (n × n)-Matrix und λ ein Eigenwert von A der Vielfachheit k, dann existieren genau k (komplex) linear unabhängige Hauptvektoren von A zu λ (maximal k-ter Stufe).

A hat n (komplex) linear unabhängige Hauptvektoren.

Aufgabe 5 (5+3 Punkte): Man löse die DGL y′ = Ay mit

A = ( \begin{matrix}4 & 1 & 0 & 0 \\ −3 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & −3 & 0 \end{matrix} ) , A = ( \begin{matrix}−5 & 3 \\ −15 & 7 \end{matrix} ) .