Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26. Oktober 2000 Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

3. Übung zur Analysis III

Abgabe: Freitag, 3.11.2000, 10.00 Uhr

Aufgabe 1 (4 Punkte): Sei I ⊂ ℝ^{n} ein offener Quader und f : (f_{1}, …, f_{n})^{t} : I → ℝ^{n} stetig differenzierbar. Ist f ein Gradientenfeld, dann lässt sich f darstellen als f = grad F, wobei F : I → ℝ gegeben ist durch

F (x) = ∑_{j=1}^{n} ∫_{y_{j}}^{x_{j}} f_{j} ((y_{1}, …, y_{j−1}, t, x_{j+1}, …, x_{n})^{t}) dt (x ∈ I),

wobei (y_{1}, …, y_{n})^{t} ∈ I beliebig und fest ist.

Aufgabe 2 (3+3+4* Punkte): Sei I ⊂ ℝ^{2} ein offener Quader. Gegeben sei die Differentialgleichung der Form

g(x, y) + h(x, y)y′ = 0, g, h ∈ C^{(1)}(I).  (1)

Sie heißt exakt, falls f = \binom{g}{h} : I → ℝ^{2} ein Gradientenfeld ist, d.h. es gilt f = gradF mit F : I → ℝ.

(i) Mit Hilfe von Satz (3.5), XI gebe man eine äquivalente Charakterisierung an und bestimme F mit A1. (ii) Zeigen Sie: Jede Lösung y(x) von (1) erfüllt die Gleichung

F (x, y(x)) = c für ein c ∈ ℝ.  (2)

(iii)^{∗} Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen (Satz (5.5), X), dass umgekehrt auch jede Lösung y(x) von (2) die Differentialgleichung (1) erfüllt.

Aufgabe 3 (2+2+2 Punkte): Als Anwendung zu Aufgabe 2 bestimme man die Lösungen von

(i) x + 3y^{2}y′ = 0,

(ii) 2x + y + (x − 2y)y′ = 0.

Aufgabe 4 (3+3 Punkte): Gegeben sei der offene Quader I ⊂ ℝ^{2} und die Differentialgleichung

g(x, y) + h(x, y)y′ = 0, g, h ∈ C^{(1)}(I).

Eine Funktion M mit M(x, y) ≠ 0 auf I heißt integrierender Faktor (oder Eulerscher Multiplikator), falls die Differentialgleichung

M(x, y)g(x, y) + M(x, y)h(x, y)y′ = 0

exakt ist.

Man zeige:

(i) M ∈ C^{(1)}(I) ist genau dann ein integrierender Faktor, wenn hM_{x} − gM_{y} = M(g_{y} − h_{x}) gilt.

(ii) Ist h(x, y) ≠ 0 auf I und hängt \frac{g_{y} − h_{x}}{h} nicht von y ab, so ist

M(x, y) = M(x) = exp (∫_{c}^{x} \frac{g_{y} − h_{x}}{h} (t) dt) , c ∈ ℝ,

ein integrierender Faktor. (iii) Man formuliere und beweise ein zu (ii) analoges Ergebnis für den Fall, daß \frac{h_{x} − g_{y}}{g} nicht

von x abhängt.

Aufgabe 5 (3+3 Punkte): Als Anwendung zu Aufgabe 4 löse man die Differentialgleichungen

(i) y(1 + xy) = xy′, (ii) x^{2} + y − xy′ = 0.

Aufgabe 6* (2*+2* Punkte): Bestimmen Sie einen integrierenden Faktor zu den folgenden aus der Vorlesung bekannten Typen von Differentialgleichungen:

(i) y′ = f(x)g(y), f, g stetig und g diffbar mit g(y) ≠ 0 (Separation der Variablen), (ii) y′ = a(x)y + b(x), a, b stetig (inhomogene lineare Dgl).

Organisatorisches: Die Klausuren werden auf folgende Termine verschoben:

1. Klausur  Mittwoch, 13.12.2000, 7.30 Uhr Hörsaal I
2. Klausur  Mittwoch, 28.02.2001, 14.00 Uhr Hörsaal EpH
Vordiplom I/II Dienstag, 06.03.2001, 9.00 Uhr Hörsaal Fo4
3. Klausur  vor Beginn des Sommersemesters

Dadurch ergibt sich auch eine Verschiebung der Übung:

statt  neuer Termin  Raum
Mittwoch, 13.12.2000, 8.15–9.45 Uhr (Üb.) Freitag, 15.12.2000, 14.00–15.30 Uhr EpH