Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 21.06.2002

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

9. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 28.06.2002, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Sei A:= ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ∈ Gl(2,ℝ) und auf ℝ^{2} sei die Äquivalenzrelation R definiert

durch

(x,y) ∈ R ⇔ x = y ∨ x = Ay (x,y ∈ ℝ^{2}).

a) Zeigen Sie, dass es eine bijektive Abbildung von ℝ^{2}/R auf die Menge der ungeordneten Paare {x_{1},x_{2}} mit x_{1},x_{2} ∈ ℝ gibt.

b) Sei Q := {(x_{1},x_{2})^{t} ∈ ℝ^{2};x_{1} ≤ x_{2}} mit der Relativtopologie von (ℝ^{2},T_{nat}) und ℝ^{2}/R mit der Quotiententopologie bezüglich (ℝ^{2},T_{nat}) versehen. Zeigen Sie:

f : Q → ℝ^{2}/R,x ↦ f(x) := [x]_{R},x ∈ Q

ist ein Homöomorphismus.

Aufgabe 2: Seien [0,1] ⊂ ℝ und ℝ^{n} jeweils mit der natürlichen Topologie versehen, f : [0,1] → ℝ^{n} stetig und A ⊂ ℝ^{n}. Zeigen Sie: Ist f(0) ∈ A und f(1) ∈ ℝ^{n}\ A, so gibt es ein t_{0} ∈ [0,1] mit f(t_{0}) ∈ ∂A.

Aufgabe 3: In einem topologischen Raum \underline{X}nennt man A ⊂ X eine Zerlegungsmenge von X, falls A offen und abgeschlossen ist. Für x ∈ X heißt

Q(x) := ⋂ {A ∈ P (X);x ∈ A,A Zerlegungsmenge von X}

die Quasikomponente von x. Zeigen Sie:

a) Für jedes x ∈ X ist Q(x) abgeschlossen in \underline{X}.

b) X = ⋃ _{x∈X}Q(x) und für x,y ∈ X gilt entweder Q(x) = Q(y) oder Q(x) ∩ Q(y) = ∅.

c) Für jedes x ∈ X gilt C(x) ⊂ Q(x).

d) C(x) ist genau dann offen, wenn Q(x) offen ist. In diesem Fall gilt C(x) = Q(x).

Aufgabe 4: Sei \underline{X}ein topologischer Raum. Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten von \underline{X} in den folgenden Fällen:

a) T = T_{A}= {U ⊂ X;A ⊂ U oder U = ∅} für A ⊂ X.

b) T = T_{P} ist eine Partitionstopologie auf X.