Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 14.06.2002

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

8. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 21.06.2002, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Sei I ⊂ ℝ,|I| = ∞ und ℝ^{I} := {f : I → ℝ;f Abbildung} versehen mit der Produkttopologie. Zeigen Sie:

a) U ⊂ ℝ^{I} ist genau dann Umgebung von f ∈ ℝ^{I}, wenn es ein n ∈ ℕ, relle Zahlen a_{i} ∈ I,1 ≤ i ≤ n und ε > 0 gibt, so dass U ⊃ ∏ _{x∈I} U_{x}, wobei U_{a_{i}} :=]f(a_{i})−ε,f(a_{i})+ε[ ,1 ≤ i ≤ n und U_{x} = ℝ falls x ∈ I \ {a_{i};1 ≤ i ≤ n}.

b) Die Menge der polynomialen Abbildungen liegt dicht in ℝ^{I}.

Bemerkung: Die folgende Aufgabe ist doppelt bewertet, d.h. es sind maximal 4 Punkte zu erreichen, wobei Teil a) und b) zusammen wie eine Aufgabe gewertet werden und folglich Teil c) ebenfalls wie eine Aufgabe gewertet wird.

Aufgabe 2: Sei G eine Untergruppe von Gl(n,ℝ) für ein n ∈ ℕ.

a) Seien x,y ∈ ℝ^{n}. Zeigen Sie: Durch (x,y) ∈ R genau dann, wenn ein A ∈ G existiert, so dass Ax = y, wird eine Äquivalenzrelation auf ℝ^{n} definiert.

b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen (und skizzieren Sie einige) für n = 2 und

(i) G = SL(2,ℝ) (Matrizen mit Determinante 1),

(ii) G = SO(2,ℝ) (Drehgruppe),

(iii) G = \{ ( \begin{matrix}α & 0 \\ 0 & α^{−1} \end{matrix} ) ;α > 0\} .

c) (i) Beschreiben Sie den Quotientenraum ℝ^{2}/R im Fall G = GL(2,ℝ).

(ii) Zeigen Sie: Für G = SO(2,ℝ) ist ℝ^{2}/R homöomorph zum Intervall [0,∞) mit der von (ℝ,T_{nat}) induzierten Topologie.

(iii) Zeigen Sie: Im Fall

G = \{ ( \begin{matrix}α & 0 \\ 0 & α^{−1} \end{matrix} ) ;α > 0\}

gibt es Punkte [x] ∈ ℝ^{2}/R mit [x] ≠ [0], aber [x] ∈ U für jede Umgebung U von [0]. Gibt es einen topologische Unterraum eines ℝ^{m} (m passend), zu dem ℝ^{2}/R homöomorph ist?

Aufgabe 3*: Auf dem topologischen Unterraum \underline{X}= \underline{ℝ^{3}\ \{0\}}von (ℝ^{3},T_{nat}) sei R die Äquivalenzrelation

x ∼ y  ⇔  ℝx = ℝy.

Die Äquivalenzklassen sind also genau die Geraden durch 0 ohne den Nullpunkt. Sei \underline{X/R} der Quotientenraum und \underline{ℝ^{2}} = (ℝ^{2},T_{nat}). Zeigen Sie, dass die Abbildung

φ: ℝ^{2} → X/R, (x_{1},x_{2}) ↦ [(x_{1},x_{2},1)]_{R},

injektiv, stetig und offen ist. Man nennt ℙ^{2} := X/R die projektive Ebene.