Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 07.06.2001

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

7. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 14.06.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Seien (X,T_{X}) und (Y,T_{Y}) topologische Räume, I ≠ ∅ und (f_{i} : X → Y)_{i∈I} die Familie aller stetigen Abbildungen von X in Y sowie T die Initialtopologie von (f_{i} : X → Y)_{i∈I}.

a) Zeigen Sie: T ⊂ T_{X}.

b) Gilt stets T = T_{X}? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

c) Für \underline{X}= \underline{Y}= (ℝ,T_{nat}) gilt T = T_{nat}.

d) Für \underline{X}= (ℝ^{2},T_{nat}),\underline{Y}= (ℝ,T_{nat}) gilt ebenfalls T = T_{nat}.

Aufgabe 2*: Sei X := ℝ^{ℕ} := {(x_{i})_{i∈ℕ} ; x_{i} ∈ ℝ ∀i ∈ ℕ} versehen mit der Produkttopologie T und Y := ℝ^{(ℕ)} := {(x_{i})_{i∈ℕ} ∈ X;x_{i} = 0 für fast alle i ∈ ℕ} ⊂ X.

a) Zeigen Sie:

(i) Durch

∥x∥:= max_{i∈ℕ}|x_{i}| (x = (x_{i})_{i∈ℕ} ∈ Y)

wird eine Norm auf Y definiert. d bzw. T_{d} bezeichne die zugehörige Metrik bzw. Topologie auf Y × Y bzw. Y.

(ii) Durch L: Y → ℝ,

Lx:= ∑_{i∈ℕ} i x_{i} (x = (x_{i})_{i∈ℕ} ∈ Y),

wird eine unstetige Linearform auf Y gegeben.

b) Sei T_{Y} die von \underline{X}= (X,T ) induzierte Relativtopologie auf Y. Vergleichen Sie T_{Y} mit T_{d}, d.h. untersuchen Sie ob T_{Y}⊂ T_{d} oder T_{d} ⊂ T_{Y} gilt.

Aufgabe 3: Ist die nicht-euklidische Ebene (vgl. Übung 2, Aufgabe 3*) ein topologischer Unterraum von (ℝ^{n},T_{nat}) für ein n ∈ ℕ?

Aufgabe 4: Eine Abbildung f : X → Y heißt Einbettung von \underline{X} in \underline{Y}, wenn f ein Homöomorphismus von \underline{X} auf den topologischen Unterraum \underline{f(X)} von \underline{Y} ist. Zeigen Sie, dass f genau dann eine Einbettung ist, wenn gilt:

(i) f ist injektiv,

(ii) f ist stetig und

(iii) für jedes offene U ⊂ X ist f(U) offen in \underline{f(X)}.