Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 31.05.2001

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

6. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 07.06.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1*: a) Sei f : ℝ → ℝ stetig bezüglich der natürlichen Topologie auf ℝ.

(i) Zeigen Sie: f ist genau dann offen, wenn f injektiv ist.

(ii) Unter welchen Voraussetzungen ist f auch abgeschlossen, wenn f offen ist?

b) Seien S^{1} := {z ∈ ℂ;|z| = 1} und g: [0,1[→ S^{1},t → g(t) := exp(t2πi). Auf [0,1[ und S^{1} seien jeweils die von der Abstandsmetrik (auf ℝ bzw. ℂ) induzierten Topologien gegeben. Zeigen Sie: g ist stetig und bijektiv, aber kein Homöomorphismus.

Aufgabe 2:

a) \underline{X},\underline{Y}seien homöomorphe topologische Räume. Zeigen Sie:

(i) Aut\underline{X} ≅ Aut\underline{Y}.

(ii) C(\underline{X}) ≅ C(\underline{Y}).

(iii) \underline{X} erfüllt genau dann das erste (zweite) Abzählbarkeitsaxiom, wenn \underline{Y}das erste (zweite) Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

b) Seien \underline{X},\underline{Y}topologische Räume mit Aut\underline{X} ≅ Aut\underline{Y}. Folgt hieraus die Homöomorphie der topologischen Räume? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Aufgabe 3: Sei (X,T ) ein topologischer Raum. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) T ist eine Partitionstopologie auf X.

(ii) Es existiert ein diskreter topologischer Raum \underline{Y}und eine Abbildung f : X → Y, so daß T die Initialtopologie von (f : X → \underline{Y}) ist.

Aufgabe 4: Sei \underline{X}_{i},i ∈ I, eine Familie von paarweise disjunkten topologischen Räumen, X = ⋃ _{i∈I} X_{i} und ι_{i}: X_{i} → X,x → x,i ∈ I, die gewöhnliche Inklusion. Sei T die Finaltopologie von (ι_{i} : \underline{X}_{i} → X)_{i∈I}. Man nennt (X,T ) die topologische Summe der (\underline{X}_{i})_{i∈I}. Zeigen Sie

T = \{A ⊂ X;A ∩ X_{i} offen in \underline{X}_{i} für alle i ∈ I\}.