Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 17.05.2001

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

5. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 31.05.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Die Menge M_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}} der reellen n × n–Matrizen sei mit der natürlichen Topologie versehen.

a) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abgeschlossene Teilmengen von M_{n}(ℝ) sind:

(i) Sym_{n}(ℝ) = {S ∈ M_{n}(ℝ); S^{t} = S} (symmetrische Matrizen), (ii) Alt_{n}(ℝ) = {A ∈ M_{n}(ℝ); A^{t} = −A} (schiefsymmetrische Matrizen), (iii) O_{n}(ℝ) = {U ∈ M_{n}(ℝ); UU^{t} = U^{t}U = E} (orthogonale Gruppe), (iv) SL_{n}(ℝ) = {A ∈ M_{n}(ℝ);detA = 1} (spezielle lineare Gruppe),

(v) N_{n}(ℝ) = {N ∈ M_{n}(ℝ) ; ∃k ∈ ℕ N^{k} = 0} (nilpotente Matrizen).

b) Zeigen Sie, dass die allgemeine lineare Gruppe GL_{n}(ℝ) = {A ∈ M_{n}(ℝ);detA ≠ 0} eine offene Teilmenge von M_{n}(ℝ) ist.

c) Zeigen Sie, dass die Menge D_{n}(ℝ) der diagonalisierbaren Matrizen in M_{n}(ℝ) für n > 1 weder offen noch abgeschlossen ist.

d) Zeigen Sie, dass die Menge P_{n}(ℝ) der positiv definiten Matrizen eine offene Teilmenge und die Menge Psd_{n}(ℝ) der positiv semi–definiten Matrizen, eine abgeschlossene Teilmenge von Sym_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n(n+1)/2} ist.

Aufgabe 2: Seien \underline{X}:= (X,T_{X}),\underline{Y}:= (X,T_{Y}) topologische Räume und f : X → Y stetig und bijektiv. In welchen der folgenden Fälle ist f dann notwendig ein Homöomorphimus bzw. mit Sicherheit kein Homöomorphimus?

a) \underline{X}= \underline{Y}= (ℝ,T_{nat}),

b) \underline{X}= \underline{Y}= (ℝ,T_{cof}),

c) \underline{X}= (ℝ,T_{nat}),\underline{Y}= (ℝ,T_{cof}),

d) \underline{X}= (ℝ,T_{cof}),\underline{Y}= (ℝ,T_{nat}).

Aufgabe 3*: Sei ℕ versehen mit der cofiniten Topologie. f, g, h : ℕ → ℕ seien definiert durch f(1) = g(1) = h(1) := 1 und

f(n) := max{k ∈ ℕ | k|n und k < n},
g(n):= max{k ∈ ℕ | k|n und k prim},
h(n):= \{ \begin{matrix}n, & falls n prim, \\ n − g(n), & sonst. \end{matrix}

für n ≥ 2. Untersuchen Sie die Abbildungen f, g und h auf Stetigkeit.

Aufgabe 4: (Canberra-Metrik) Sei ℝ^{+} := {x ∈ ℝ;x > 0} und n ∈ ℕ. Definiere dann

d(x,y) := ∑_{i=1}^{n} \frac{|x_{i}− y_{i}|}{|x_{i}| + |y_{i}|} (x = (x_{1},...,x_{n})^{t},y = (y_{1},...,y_{n})^{t} ∈ (ℝ^{+} )^{n}).

Zeigen Sie:

a) d ist eine Metrik auf (ℝ^{+} )^{n}. Hinweis: Betrachten Sie beim Nachweis der Dreiecksungleichung zuerst den Fall n = 1.

b) Für A = diag(α_{1},...,α_{n}) ∈ (ℝ^{+} )^{n×n} gilt d(Ax,Ay) = d(x,y) (Skaleninvarianz ).